Nombres pythagoriciens

Triplet pythagoricien

Un triplet pythagoricien est un triplet d'entiers naturels non nuls (x; y; z) vérifiant la relation de Pythagore :

x² + y² = z²

Triplets primitifs

Nous dirons qu'un triplet pythagoricien est primitif si les trois naturels x, y, z sont premiers entre eux.

Remarque - Cette définition équivaut à l'affirmation : deux des naturels x, y, z sont premiers entre eux (immédiat puisqu'un diviseur premier commun de deux des nombres divisera le troisième).

Il est évident qu'on obtiendra tous les triplets pythagoriciens par multiplication des trois nombres par un naturel non nul. On peut donc se contenter d'obtenir les triplets primitifs.

Remarquons que si on divise par z², on obtient :

$\frac{x^2}{z^2} + \frac{y^2}{z^2} = 1$

C’est-à-dire que les triplets pythagoriciens permettent de trouver les points à coordonnées rationnelles donnés par ($\frac{x}{z},\frac{y}{z}$) sur le cercle unité.

Lemme préliminaire

Si (x, y, z) est un triplet pythagoricien primitif, alors x et y sont de parités différentes.

En effet x et y ne peuvent être tous deux pairs en vertu de la remarque ci-dessus. D'autre part, s'ils étaient tous deux impairs en posant x = 2s + 1 et y = 2t + 1 on voit que z² = x² + y² serait de la forme 4m + 2, ce qui est impossible puisqu'un tel naturel ne peut être un carré (un naturel pair qui est un carré ne peut être que le carré d'un nombre pair 2q et ce carré 4q² est multiple de 4).

Comment en obtenir ?

Prenons x un entier naturel supérieur ou égal à 3, dont on cherche un triplet pythagoricien primitif (x, y, z) tel que x² + y² = z², avec x < y.

Voici comment en obtenir un :

1^er cas : x est impair.

y est alors égal à (x² - 1)/2 ;

et z est égal à (x² + 1)/2 ; c'est-à-dire y + 1.

2^e cas : x est pair (et divisible par 4, sinon le triplet n'est pas primitif).

y vaut alors (x/2)² - 1 ;

et z vaut (x/2)² + 1 ; soit y + 2.

Remarque : avec cette méthode, certains triplets pythagoriciens ne peuvent pas être obtenus, comme par exemple (20, 21, 29).

Théorème fondamental

Il y a équivalence entre

• (i) $\quad (x,y,z)$ est un triplet pythagoricien primitif avec x impair.
• (ii) Il existe $(p,q) \in \mathbb N^{*2}$ avec p > q , p et q premiers entre eux et de parités différentes tels que
  • $\quad x=p^2-q^2$
  • $\quad y=2pq$
  • $\quad z=p^2+q^2$

Démonstration

• (i) $\Rightarrow$ (ii)

y étant pair, posons y = 2u (u $\in \mathbb N^*)$. On a donc z² - x² = 4u², soit (z + x)(z - x ) = 4u².

Comme z + x et z - x sont pairs (x et z impairs), posons z + x = 2s et z - x = 2t (s et t$\in N^*)$. Il vient alors

x = s - t, z = s + t, st = u².

s et t sont premiers entre eux. En effet tout diviseur premier commun de s et t diviserait s + t = z, s - t = x et 2√st = y, ce qui est impossible (cf. remarque sur les triplets primitifs). Chaque diviseur premier de st = u² ne peut donc diviser à la fois s et t et, comme u² est un carré, l'exposant de ce diviseur premier est pair dans celui des 2 nombres s et t où ce diviseur premier figure. Il en résulte que s et t sont des carrés de naturels (non nuls) puisque chacun de leurs diviseurs premiers a un exposant pair. On peut donc poser s = p² et t = q².

On a donc bien x = p² - q² et z = p² + q². De plus st = u², soit p²q² = u² et donc u = pq d'où y = 2pq. Comme s et t sont premiers entre eux, il en est de même de p et q. Comme x > 0 on a p > q. Enfin p et q ne peuvent être de même parité puisque alors x = p² - q² serait pair.

• (ii) $\Rightarrow$ (i)

(ii) entraîne immédiatement par un simple calcul que x² + y² = z². D'autre part, comme p et q sont de parités différentes, x est nécessairement impair. Si x et z avaient un diviseur premier commun, ce diviseur diviserait z + x et z - x, soit 2p² et 2q². Comme ce diviseur premier ne peut être 2 (x impair), il diviserait p² et q² et donc p et q, ce qui est impossible puisque p et q sont premiers entre eux.

CQFD

Exemples de triplets primitifs

( 3, 4, 5)	(20, 21, 29)	(11, 60, 61)	(13, 84, 85)
( 5, 12, 13)	(12, 35, 37)	(16, 63, 65)	(36, 77, 85)
( 8, 15, 17)	( 9, 40, 41)	(33, 56, 65)	(39, 80, 89)
(7, 24, 25)	(28, 45, 53)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

Faits intéressants

Dans un triplet pythagoricien primitif où a et b sont les cathètes et c est l'hypoténuse, a étant impair et b pair (voir lemme préliminaire):

c est toujours impair.

c - b est un carré parfait.

c + b est un carré parfait.

(c + a) / 2 est un carré parfait.

(c - a) / 2 est un carré parfait.

Soit a soit b est un multiple de 3.

b est un multiple de 4.

Soit a soit b soit c est un multiple de 5.

Le produit ab est un multiple de 12.

Soit a soit b soit a + b soit b - a est un multiple de 7.

Par exemple, dans le triplet pythagoricien 65 - 72 - 97, où a = 65, b = 72 et c = 97:

97 est impair,

97 - 72 = 25, qui est un carré parfait (5 x 5),

97 + 72 = 169, qui est aussi un carré parfait (13 x 13),

(97 + 65) / 2 = 81, qui est un carré parfait (9 x 9),

(97 - 65) / 2 = 16, qui est aussi un carré parfait (4 x 4),

72 est un multiple de 3,

72 est un multiple de 4,

65 est un multiple de 5,

65 * 72 = 4680 est un multiple de 12,

72 - 65 = 7 , qui est un multiple de 7.

Information trouvée dans le livre Math Power, par Robert Stanton, Éditions KAPLAN.

Voir aussi

• Théorème de Pythagore
• Théorème de Fermat
• Démonstrations du dernier théorème de Fermat
• La tablette Plimpton 322 est un très ancien document écrit (-1800) faisant apparaître ces nombres.

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