Nombre de Sierpiński

En mathématiques, un nombre de Sierpiński est un nombre positif, impair k tel que les entiers N de la forme

$N=k2^{n} + 1\,\!$

sont composés (c'est-à-dire non premiers) pour tous les nombres naturels n.

En 1960, Wacław Sierpiński montra qu'il existe une infinité de ces nombres.

En 1962, ayant trouvé que 78 557 = 17 x 4 621 est un nombre de Sierpiński, John Selfridge (en) conjectura que 78 557 était le plus petit de ces nombres.

Pour montrer que 78 557 est réellement le plus petit nombre de Sierpiński, il suffit pour chaque nombre impair plus petit de trouver un exposant n tel que (k . 2ⁿ +1) soit premier. En 2000, il ne restait plus que 17 candidats possibles.

Seventeen or Bust, (Dix-sept ou arrêt) le projet de calcul distribué, commença à tester ces dix-sept nombres pour voir s'ils pouvaient être éliminés de la liste des nombres de Sierpiński possibles. Si le projet trouve que tous ces nombres génèrent un nombre premier, le projet aura trouvé une preuve de la conjecture de Selfridge.

Le projet réussit à trouver onze nombres premiers supplémentaires ; en conséquence, il ne reste plus que 6 nombres à tester. Le 11^e a été trouvé en octobre 2007.

Exemple : le nombre 78 557

John Selfridge prouva en 1962 que 78 557 est un nombre de Sierpiński.

La preuve montre que tout choix de n rentre dans au moins une catégorie parmi 7, où chaque catégorie garantit un facteur pour N.

Selfridge prouva en effet que :

• 78557 * 2²ⁿ + 1 est un multiple de 3 ;
• 78557 * 2^{4n + 1} + 1 est un multiple de 5 ;
• 78557 * 2^{3n + 1} + 1 est un multiple de 7 ;
• 78557 * 2^{12n + 11} + 1 est un multiple de 13 ;
• 78557 * 2^{18n + 15} + 1 est un multiple de 19 ;
• 78557 * 2^{36n + 27} + 1 est un multiple de 37 ;
• 78557 * 2^{9n + 3} + 1 est un multiple de 73.

Ainsi, on peut construire la table des exposants modulo 36 :

Si l'exposant est congru à ... modulo 36	alors N a pour diviseur...
0	3
1	5
2	3
3	73
4	3
5	5
6	3
7	7
8	3
9	5
10	3
11	13
12	3
13	5
14	3
15	19
16	3
17	5
18	3
19	7
20	3
21	5
22	3
23	13
24	3
25	5
26	3
27	37
28	3
29	5
30	3
31	7
32	3
33	5
34	3
35	13

Ainsi, tous les exposants sont considérés, ce qui veut dire qu'aucun terme de la suite ne peut être premier. On peut dire la même chose des nombres 271 129, 271 577, 322 523, 327 739, 482 719, 575 041, 603 713, 903 983, 934 909, 965 431, 1 259 779, 1 290 677, 1 518 781, 1 624 097, 1 639 459, 1 777 613, 2 131 043, etc.

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