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Nombre de Lucas

Nombre de Lucas

En mathématiques, la suite des nombres de Lucas est l'une des suites de Lucas. Elle est définie par :

\mathcal{L}_{0}=2.
\mathcal{L}_{1}=1.
\mathcal{L}_{n+2}=\mathcal{L}_{n+1}+\mathcal{L}_n.

La relation de récurrence est la même que celle de la suite de Fibonacci. Les valeurs initiales sont 2 et 1 au lieu de 0 et 1.

Premières valeurs

Rangés par ordre croissant, les premiers nombres de Lucas (pour n compris entre 0 et 10) sont les suivants :

1=\mathcal{L}_{1}
2=\mathcal{L}_{0}
3=\mathcal{L}_{2}
4=\mathcal{L}_{3}
7=\mathcal{L}_{4}
11=\mathcal{L}_{5}
18=\mathcal{L}_{6}
29=\mathcal{L}_{7}
47=\mathcal{L}_{8}
76=\mathcal{L}_{9}
123=\mathcal{L}_{10}

Propriétés

Les puissances successives du nombre d'or

\varphi=\frac{1+\sqrt5}2

sont voisines des nombres de Lucas. Plus précisément, en désignant par φ et φ' les racines de l'équation x2 − x − 1 = 0 :

L_n=\varphi^n+(1-\varphi)^n=\varphi^n+(- \varphi)^{-n} = \varphi^n+(\varphi')^{n} \, = \left({1+\sqrt5\over2}\right)^n+\left({ 1-\sqrt5\over2}\right)^n

(C'est la formule de Maillet, dont l'analogue pour les nombres de Fibonacci est la formule de Binet.)

Ainsi la valeur absolue de la différence :

L_n-\varphi^n=\frac{(-1)^n}{\varphi^n} est strictement inférieure à 1/2 pour n≥2 (ce qui montre que Ln est l'entier le plus proche de φn) et tend même vers zéro.

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