Nombre adimentionnel

Grandeur sans dimension

En physique, une grandeur sans dimension est une quantité permettant de décrire une caractéristique physique sans dimension ni unité explicite d'expression. Elle est constituée du produit ou rapport de grandeurs à dimensions, de telle façon que le rapport des unités équivaut à un. L'analyse dimensionnelle permet de définir ces grandeurs sans dimension. L'unité SI dérivée associée est le nombre 1^[1]. On trouve parmi ces grandeurs l'indice de réfraction ou la densité par exemple.

Ces grandeurs sans dimension interviennent particulièrement en mécanique des fluides et pour la description de phénomène de transfert lorsqu'on utilise la similitude de modèles réduits ou théorie des maquettes et construit l'interprétation des résultats d'essais. Elles portent le nom de nombres sans dimension, nombres adimensionnels, ou encore de nombres caractéristiques.

Des nombres caractéristiques utiles

Le domaine d'application par excellence des nombres adimensionnels est la mécanique des fluides. Il existe des centaines de nombres dont une grande partie réservée à des sujets très spécialisés^[2]. Une liste non-exhaustive est donnée ci-après des nombres adimensionnels les plus courants.

Liste commune

Liste des nombres adimensionnels

Nom	Symbole	Domaines d'utilisation	Type de rapport
Nombre d'Abbe	V	Optique	angle de réfraction/angle de dispersion
Nombre d'absorption	Ab	Transfert de masse	temps d'exposition/temps d'absorption
Nombre d'accélération	Ac	Mécanique des fluides	force d'accélération/force de gravité
Nombre d'Alfven	Al	Magnétohydrodynamique	vitesse du fluide/vitesse de l'onde d'Alfven
Nombre d'Archimède	Ar	Mécanique des fluides	force de gravité*force d'inertie/force visqueuse2
Nombre d'Atwood	At	Mécanique des fluides	différence de densités/somme de densité
Nombre de Bagnold	Ba	Mécanique des fluides, rhéologie	énergie dissipée par frottement visqueux/énergie dissipée par choc
Nombre de Bansen	Ba	Transfert thermique	énergie transférée par radiation/capacité thermique du fluide
Nombre de Bejan	Be	Mécanique des fluides, transfert thermique, Thermodynamique	entropie générée par transfert de chaleur /entropie totale générée
Nombre de Bingham	Bm	Mécanique des fluides	limite d'élasticité/force visqueuse
Nombre de Biot	Bi	Transfert thermique	transfert thermique dans un corps/transfert thermique à la surface du corps
Nombre de Blake	Bl	Mécanique des fluides	force d'inertie/force visqueuse (nombre de Reynolds pour lit de particule)
Nombre de Bodenstein	Bo	Transfert de masse, mécanique des fluides	transfert de masse convectif/transfert de masse par dispersion
Nombre de Boltzmann	Bo	Transfert thermique	Equivalent au nombre de Thring
Nombre de Bond	Bo	Mécanique des fluides	force de gravité/tension superficielle
Nombre de Boussinesq	Bq	Mécanique des fluides	force d'inertie/force de gravité
Nombre de Brinkman	Br	Transfert thermique, rhéologie	chaleur produite par dissipation des forces visqueuses dissipée/chaleur transférée par conduction
Nombre de Bulygin	Bu	Transfert thermique	énergie utilisée pour évaporer le liquide/énergie utilisée pour chauffer le corps mouillé
Nombre capillaire	Ca	Mécanique des fluides	force visqueuse/tension superficielle
Nombre de capillarité	Cap	Mécanique des fluides	force capillaire/force de filtration
Nombre de Cauchy	Ca	Rhéologie	force d'inertie/force élastique
Nombre de cavitation	σc	Mécanique des fluides	différence de pression/pression dynamique
Nombre de Clausius	Cl	Transfert thermique
Facteur J de Colburn	jH, jM	Transfert thermique, de masse, de moment
Nombre de condensation	Co	Transfert thermique	force visqueuse/force de gravité
Nombre de Courant	Co	Mathématiques, informatique
Nombre de Cowling	Co	Magnétohydrodynamique	vitesse de l'onde d'Alfven/vitesse du fluide
Nombre de Damköhler	Da	Cinétique chimique	vitesse de réaction chimique/vitesse de transfert des réactifs
Nombre de Dean	D	Mécanique des fluides	force d'inertie/force visqueuse (nombre de Reynolds pour tube courbe)
Densité	d	Physique, chimie, biologie	masse volumique du corps/masse volumique du corps de référence (Pression et Température identiques pour des corps gazeux)
Nombre de Deborah	De	Rhéologie	temps de relaxation d'un corps/temps de l'expérience
Nombre de Dufour	Du2	Transfert thermique	Chaleur transférée par diffusion/Chaleur transférée par convection (lorsque transfert par diffusion et par conduction sont égaux)
Nombre de Dulong	Du	Mécanique des fluides	Equivalent au nombre d'Eckert
Nombre d'Eckert	Ec	Mécanique des fluides	énergie cinétique d'un fluide/enthalpie du fluide
Nombre d'Einstein	Ei	Magnétohydrodynamique	Equivalent au nombre de Lorentz
Nombre d'Ekman	Ek	Mécanique des fluides	force visqueuse/force de Coriolis
Nombre d'Ellis	El	Mécanique des fluide
Nombre d'Elsasser	El,Λ	Magnétohydrodynamique	force de Lorentz/force de Coriolis
Nombre d'Eötvös	Eo	Mécanique des fluides	cf. Nombre de Bond
Nombre d'Ericksen	Er	Rhéologie
Nombre d'Euler (physique)	Eu	Mécanique des fluides	force de pression/force d'inertie
Nombre d'évaporation	E	Transfert thermique
Nombre de Fedorov	Fe	Mécanique des fluides	flux de particules/flux gaz porteur (lit fluidisé)
Nombre de Fourier	Fo	Transfert thermique	transfert thermique par conduction/accumulation d'énergie
Nombre de Fresnel	F	Optique
Nombre de Froude	Fr	Mécanique des fluides	force d'inertie/force de gravité
Nombre de Galilée	Ga	Mécanique des fluides	portance/force d'inertie (cf. nombre d'Archimède)
Nombre de Gay-Lussac	Gc	Transfert thermique	différence de température/coefficient d'augmentation de pression isochore
Nombre de Goucher	Go	Mécanique des fluides	(force de gravité/tension superficielle)0.5
Nombre de Graetz	Gz	Transfert thermique	capacité thermique du fluide/chaleur transférée par conduction
Nombre de Grashof	Gr	Mécanique des fluides	portance thermique/force d'inertie
Nombre de Gukhman	Gu	Transfert thermique	critère pour transfert thermique convectif par évaporation
Nombre de Hagen	Ha	Mécanique des fluides
Nombre de Hartmann	Ha	Magnétohydrodynamique	force de Laplace/force visqueuse
Nombre de Hatta	Ha	Cinétique chimique	vitesse de réaction chimique sans transfert de masse/transfert de masse
Nombre de Hedström	He	Rhéologie	limite de plasticité*force d'inertie/force visqueuse2
Nombre de Helmholtz	He	Acoustique	longueur caractéristique/longueur d'onde
Nombre de Hersey	Hs	Tribologie	Inverse du nombre de Stokes
Nombre de Hodgson	Ho	Mesure	constante de temps du système/période de pulsation
Nombre de Jakob	Ja	Transfert thermique	chaleur sensible/chaleur latente (vaporisation)
Nombre de Jeffreys	Je	Mécanique des fluides, géophysique	force gravitationnelle/force visqueuse
Nombre de Joule	Jo	Magnétisme	énergie thermique par effet Joule/énergie du champ magnétique
Nombre de Karlovitz	Ka	Mécanique des fluides	temps chimique/temps de Kolmogorov
Nombre de Karman	Ka	Mécanique des fluides	Mesure de la turbulence dans un flux
Nombre de Keulegan-Carpenter	KC	Mécanique des fluides
Nombre de Kirpichev	Ki	Transfert thermique, de masse	transfert en surface/ transfert dans le solide
Nombre de Knudsen	Kn	Mécanique des fluides	distance libre/longueur caractéristique
Nombre de Kossovitch	Ko	Transfert thermique	chaleur pour évaporer eau/chaleur pour chauffer corps mouillé
Nombre de Kutateladze	Ku	Transfert thermique
Nombre de Laplace	La	Mécanique des fluides	tension superficielle et forces d'inertie/forces visqueuse (cf. nombre d'Ohnesorge)
Nombre de Laval	La
Nombre de Leroux	L	Mécanique des fluides	Equivalent au nombre de cavitation
Nombre de Lewis	Le	Transfert de masse et thermique	diffusivité massique/diffusivité thermique
Nombre de Lorentz	Lo	Magnétohydrodynamique	vitesse/vitesse de la lumière
Nombre de Luikov	Lu	Transfert thermique et de masse
Nombre de Lukomskii	Lu
Nombre de Lundquist	Lu	Magnétohydrodynamique	vitesse d'Alfvén/vitesse de diffusion résistive
Nombre de Lyashchenko	Ly	Mécanique des fluides	(force d'inertie)/(force visqueuese*force de gravité)
Nombre de Lykoudis	Ly	Magnétisme, mécanique des fluides
Nombre de Mach	Ma	Mécanique des fluides	vitesse du fluide/vitesse du son
Nombre de Marangoni	Mg	Transfert thermique, mécanique des fluides
Nombre de Margoulis	Ms	Transfert thermique, transfert de masse	Equivalent au nombre de Stanton
Nombre de Margulis	Mr	Transfert thermique, transfert de masse	Equivalent au nombre de Stanton
Nombre de Merkel	Me	Transfert de masse	masse d'eau transférée par unité de différence d'humidité/masse de gaz sec
Nombre de Miniovich	Mn	Porosité	taille des pores/porosité
Nombre de Mondt	Mo	Transfert de chaleur	chaleur transférée par convection/chaleur transférée par conduction longitudinale dans surface d'échange
Nombre de Morton	Mo	Mécanique des fluides
Nombre de Naze	Na	Magnétohydrodynamique	vitesse d'Alfven/vitesse du son
Nombre de Nahme	Na	Rhéologie
Nombre de Newton	Ne	Mécanique des fluides	force de résistance/force d'inertie
Nombre de Nusselt	Nu	Transfert thermique	transfert thermique total/transfert thermique par conduction
Nombre d'Ocvirk	Oc
Nombre d'Ohnesorge	Oh	Mécanique des fluides	force visqueuses/tension superficielle et force d'inertie
Nombre de Péclet	Pe	Transfert thermique et de masse	transfert par convection/transfert par diffusion ou conduction
Nombre de Peel
Nombre de pipeline	pn	Mécanique des fluides
Nombre de plasticité	Np	Rhéologie	Equivalent au nombre de Bingham
Nombre de Poiseuille	Ps	Mécanique des fluides	/force visqueuse
Nombre de Posnov	Pn	Transfert thermique et de masse
Nombre de Pomerantsev	Pm	Transfert thermique	Equivalent au nombre de Damköhler
Nombre de Prater
Nombre de Prandtl	Pr	Mécanique des fluides, transfert thermique	diffusivité de moment/diffusivité thermique
Nombre de Predvoditelev	Pd	Transfert thermique	changement de température d'un fluide/changement de température d'un corps immergé dans le fluide
Nombre de pression	Kp	Mécanique des fluides	pression absolu/différence de pression à travers une surface
Nombre de puissance	Np	Mécanique des fluides	force d'entraînement(agitateur)/force d'inertie
Nombre de radiation	Nr	Transfert thermique
Nombre de Ramzin	Ks	Transfert thermique
Nombre de Rayleigh	Ra	Mécanique des fluides	convection naturelle/diffusion
Nombre de Reech	Re	Mécanique de fluide	force de gravité/force d'inertie
Nombre de Reynolds	Re	Mécanique des fluides	force d'inertie/force visqueuse
Nombre de Richardson	Ri	Mécanique des fluides
Nombre global de Richardson	BRN	Météorologie	Énergie potentielle de convection disponible/cisaillement vertical des vents dans un orage
Nombre de Romankov	Ro	Transfert thermique
Nombre de Roshko	Ro	Mécanique des fluides	Equivalent au nombre de Stokes
Nombre de Rossby	Ro	Mécanique des fluides	force d'inertie/force de Coriolis
Nombre de Rouse	R	Mécanique des fluides, transport sédimentaire	vitesse de chute / vitesse de frottement
Nombre de Russell	Ru
Nombre de Sachs	Sa	Explosion
Nombre de Sarrau	Sa	Mécanique des fluides	Equivalent au nombre de Mach
Nombre de Schiller	Sch	Mécanique des fluides	force d'inertie/(force visqueuse*coefficient de traînée)
Nombre de Schmidt	Sc	Mécanique des fluides, transfert de masse	diffusivité de moment/diffusivité massique
Nombre de Semenov	Sm	Transfert de masse et thermique	Equivalent au nombre de Lewis
Nombre de Sherwood	Sh	Transfert de masse	transfert massique total/transfert massique par diffusion
Nombre de Sommerfeld	S
Nombre de Spalding	B
Nombre de Stanton	St	Transfert thermique et de masse	transfert total/transfert par convection
Nombre de Stefan	Se	Transfert thermique	chaleur sensible/chaleur latente (fusion)
Nombre de Stewart	St,N	Magnétohydrodynamique	force magnétique/force d'inertie
Nombre de Stokes	S	Mécanique des fluides	force d'inertie particule/force d'entraînement(fluide)
Nombre de Strouhal	Sr	Mécanique des fluides
Nombre de Stuart	St,N	Magnétohydrodynamique	Equivalent au nombre de Stewart
Nombre de Suratman	Su	Mécanique des fluides	Equivalent au nombre de Laplace
Nombre de Taylor	Ta	Mécanique des fluides	force centrifuge/force visqueuse
Nombre de Thiele	mT, ϕ	Cinétique chimique, transfert de masse	vitesse de réaction chimique/flux diffusif des réactifs vers le catalyseur
Nombre de Thoma
Nombre de Thomson	Th	Mécanique des fluides	Equivalent au nombre de Strouhal
Nombre de Thring	Th	Transfert thermique	capacité thermique du fluide/chaleur transférée par radiation
Nombre de Weber	We	Mécanique des fluides	forces d'inertie/tension superficielle
Nombre de Weissenberg	Wi	Rhéologie	temps de relaxation d'un corps/temps de l'expérience
Nombre de Womersley	Wo	Mécanique des fluides	force d'inertie instationnaire/force visqueuse

Nombre adimensionel en cosmologie

• -fold
• Paramètre de densité
• Redshift

Similitude des modèles réduits

Généralités

Divers domaines d'études conduisent à des expériences sur des modèles réduits, ce qui pose le problème de leur réalisme : les phénomènes aux deux échelles doivent être semblables. Par exemple, dans l'étude d'un écoulement autour d'un obstacle le sillage doit comporter, à l'échelle près, le même système de tourbillons ou de turbulence sur le modèle et sur le prototype.

Dire que les phénomènes sont semblables revient à dire que certains invariants doivent être conservés lorsqu'on change d'échelle. Ces invariants sont donc des nombres sans dimension qui doivent être construits à partir des grandeurs dimensionnelles qui caractérisent le phénomène. Dans ce qui suit, le cas des problèmes mécaniques, dans lesquels les trois grandeurs fondamentales sont la masse M, la longueur L et le temps T, sera seul considéré.

Dans ces conditions, toute grandeur physique est homogène à une expression de la forme M^α L^β T^γ. Pour un nombre sans dimension, les exposants de chaque grandeur doivent être nuls.

Le premier problème consiste à déterminer quelles sont les grandeurs qui régissent le phénomène et celles qui sont négligeables (l'oubli d'une grandeur essentielle peut conduire à des résultats totalement erronés). Une fois que cette liste est établie, il faut en déduire les nombres sans dimension dont la conservation assurera la similitude.

Parmi ces nombres sans dimension, certains sont des rapports de longueurs : leur conservation caractérise la similitude géométrique qui n'appelle pas de commentaires particuliers. Seuls ceux qui font intervenir des grandeurs physiques présentent ici un intérêt.

Exemples

Dans l'étude de l'écoulement des fluides visqueux, on peut obtenir des résultats intéressants à partir de considérations simples basées sur les formules de dimensions des grandeurs physiques concernées. Dans le cas du mouvement d'un corps de forme donnée, la détermination complète n'exige la connaissance que de l'une de ses dimensions linéaires (rayon d'un sphère ou d'un tube de cylindre, longueur de l'un des demi-axes d'un ellipsoïde de révolution d'excentricité donnée, etc).

Prenons le cas d'écoulement permanent. Si l'on se réfère à l'équation de Navier-Stokes, les paramètres caractérisant le fluide sont: la viscosité cinématique ν = η / ρ et les fonctions inconnues fournies par la résolution, c'est-à-dire la vitesse $\vec{v}$ et le rapport p / ρ. L'écoulement dépend encore de la forme caractérisée par la dimension linéaire D. On vérifie aisément qu'à l'aide des grandeurs V, D et ν, on peut former qu'une seule combinaison indépendante sans dimension. Cette combinaison sans dimension est le nombre de Reynolds:

$Re = {{V D} \over \nu}$

Tout autre paramètre sans dimension peut être représenté par une fonction de Re. Si l'on mesure les longueurs en unité D et les vitesses en unité V revient à introduire les quantités sans dimension: $\vec{r} / D$ et $\vec{v} / V$. Comme le seul paramètre sans dimension est le nombre de Reynolds, on conçoit que la distribution des vitesses résultant de la résolution des équations hydrodynamiques soit décrite par des fonctions de la forme:

$\vec{v} = V \cdot f({\vec{r} \over D}, Re)$

Cette expression montre que dans deux écoulements différents mais du même type les vitesses $\vec{v} / V$ sont des fonctions identiques du rapport $\vec{r} / D$ à condition que les nombres de Reynolds de ces écoulements soient les mêmes. Les modifications de l'échelle de mesure des coordonnées et des vitesses sont dits semblables. Par conséquent, deux écoulements de même type, caractérisés par le même nombre de Reynolds sont semblables. C'est la loi dite de similitude énoncé par O. Reynolds en 1883.

Une formule analogue peut être établie en ce qui concerne la distribution de pression p. Nous constatons que $p \over {\rho V^2}$ est sans dimension. Nous pouvons donc affirmer que:

$p = \rho V^2 \cdot f({\vec{r} \over D}, Re)$

Nous pouvons appliquer le même raisonnement aux grandeurs ne dépendant pas des coordonnées. Par exemple, le force de résistance F s'exerçant sur le corps placé dans un écoulement de fluide. Nous pouvons alors dire que:

$F = \rho V^2 D^2 \cdot f(Re)$

Si la force de pesanteur affecte notablement le mouvement, celui-ci dépendra non plus de trois mais de quatre paramètres: D, V, ν et g. Nous pouvons alors former deux combinaisons: le nombre de Reynolds et le nombre de Froude défini par:

$Fr = {V \over {\sqrt{D g}}}$

Les fonctions f du nombre de Reynolds données précédemment dépendront alors de Re et Fr et les écoulements ne seront semblables que si ces deux nombres y sont égaux.

Pour un écoulement non permanent, il faudra ajouter la grandeur τ: intervalle de temps caractéristique au cours duquel cet écoulement varie. Nous pouvons alors former deux quantités sans dimensions: le nombre de Reynolds et le nombre de Strouhal défini par:

$Sr = {D \over {V \tau}}$

La similitude des écoulements implique alors l'égalité de chacun de ces nombres dans les deux écoulements.

Si on considère l'écoulement d'un fluide dont la caractéristique essentielle est la compressibilité, l'expérience montre que les deux seuls paramètres significatifs, en plus de la géométrie, sont la vitesse V de l'écoulement non perturbé et un paramètre lié à la compressibilité, le plus simple étant la célérité du son dans le fluide notée a. Ces deux grandeurs ayant la même dimension, le nombre sans dimension à conserver s'en déduit immédiatement, c'est le nombre de Mach:

$Ma = {V \over a}\,$

Commentaire

Dans une expérience pratique, il est souvent impossible de satisfaire simultanément plusieurs conditions de similitude. Ainsi, lors du déplacement d'une maquette de navire, il faudrait en principe respecter la similitude de Reynolds pour décrire les frottements sur la coque et la similitude de Froude pour décrire le sillage sur la surface libre. Une inspection rapide des formules montre qu'une réduction de l'échelle devrait entraîner à la fois une réduction et une augmentation de la vitesse – sauf à pouvoir jouer sur la masse spécifique du fluide, sa viscosité ou la gravité. Dans ce cas il faut respecter la similitude la plus importante, généralement la similitude de Froude. Si les contraintes, essentiellement financières, permettent d'atteindre une échelle suffisamment grande pour que l'effet d'échelle lié au non-respect de la similitude de Reynolds soit faible, le problème est ignoré. Sinon, il faut appliquer aux résultats une correction numérique déduite d'autres expériences.

Interprétation des résultats d'essais

Dans ce qui précède, les nombres sans dimension sont considérés comme des marqueurs d'un phénomène bien déterminé : si l'un d'entre eux est modifié, les résultats doivent en principe changer. Quand des essais systématiques sont effectués pour obtenir des lois expérimentales, la présentation la plus efficace consiste à donner les résultats sous la forme d'une loi qui relie un nombre sans dimension à d'autres nombres sans dimension.

Une analyse plus approfondie peut même donner une idée sur la forme des lois à rechercher. Cette analyse peut s'appuyer sur le théorème de Buckingham mais une méthode plus élémentaire, due à lord Rayleigh, peut être utilisée dans les cas simples. On trouvera ci-dessous le canevas du calcul pour le problème classique de la force exercée sur un obstacle par l'écoulement d'un fluide que l'on supposera visqueux mais incompressible et sans surface libre. Les variables en cause, qui ne dépendent que de la masse M, de la longueur L et du temps T, sont

• la force F de dimension MLT^-2,
• une dimension D caractéristique de l'obstacle, de dimension L,
• l'incidence θ de l'écoulement par rapport à l'obstacle, qui ne dépend d'aucune des variables de base,
• la vitesse V de l'écoulement, de dimension LT^-1,
• la masse spécifique ρ du fluide, de dimension ML^-3,
• sa viscosité μ de dimension ML^-1T^-1.

Il faut exprimer la force comme une fonction inconnue des autres variables :

$F = f(D,\theta,V,\rho,\mu)\,$

Cette fonction peut être considérée comme une sorte de série contenant des monômes dans lesquels les différentes grandeurs sont élevées à des puissances inconnues multipliés par un coefficient k sans dimension :

$F = \sum k {D^\alpha \theta^\beta V^\gamma \rho^\delta \mu^\epsilon}$

Une identification analogue à celle qui a été évoquée pour le nombre de Froude élimine trois des exposants et conduit à écrire la formule sous la forme :

$F =\rho D^2 V^2 \sum k ({{\rho V D} \over \mu})^{-\epsilon} \theta^\beta$

qui contient deux paramètres indéterminés. La série se transforme en une fonction qui s'écrit sous la forme habituelle faisant intervenir une aire A caractéristique à la place du produit D² :

$F = {1 \over 2} C({{\rho V D} \over \mu},\theta) \rho A V^2$

Cette formule ne signifie pas que la force est proportionnelle au carré de la vitesse. En effet, celle-ci intervient à travers le nombre de Reynolds et, en d'autres circonstances, elle pourrait dépendre aussi du nombre de Mach et du nombre de Froude. Il existe des cas dans lesquels cette proportionnalité est bien vérifiée mais c'est une conséquence des expériences, pas de l'analyse dimensionnelle. Celle-ci ne peut qu'indiquer la forme la plus efficace pour décrire les lois physiques mais pas leur contenu.

Pour mettre en forme des résultats d'essais, cette formule s'écrit comme un nombre sans dimension fonction de deux autres nombres sans dimension :

${F \over {{1 \over 2} \rho A V^2}} = C({{\rho V D} \over \mu},\theta)$

Notes et références

1. ↑ Site du Bureau international des mesures
2. ↑
   • Bernard Stanford Massey, Measures in science and engineering : their expression, relation and interpretation, Halsted Press, 1986, 216 p. (ISBN 0853126070) 
   • (en) Carl W. Hall, Laws and Models: Science, Engineering, and Technology, CRC Press, 2000, 524 p. (ISBN 0849320186) 

Voir aussi

• effet d'échelle
• Équation aux dimensions
• Analyse dimensionnelle
• Unité réduite

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