Nilpotent

 Ne doit pas être confondu avec Groupe nilpotent.

En mathématiques, un élément x d'un anneau unitaire (ou même d'un pseudo-anneau) R est appelé nilpotent s'il existe un certain nombre entier positif n tel que $x^n = 0\,$.

Exemples

Cette définition peut être appliquée en particulier aux matrices carrées. La matrice

$A = \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}$

est nilpotente parce que $A^3 = 0\,$. On parle alors de matrice nilpotente.

Dans l'anneau Z/9Z, la classe de 3 est nilpotente parce que $3^2\,$ est congru à 0 modulo 9.

L'anneau des coquaternions contient un cône de nilpotents.

Propriétés

Aucun élément nilpotent ne peut être une unité (excepté dans l'anneau trivial {0} qui possède seulement un élément unique 0 = 1). Tous les éléments nilpotents différents de zéro sont des diviseurs de zéro.

Une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un corps commutatif est nilpotente si et seulement si son polynôme caractéristique est $T^n\,$, ce qui est le cas si et seulement si $A^n = 0\,$.

Les éléments nilpotents d'un anneau commutatif forment un idéal, qui est le nilradical de l'anneau.

Si x est nilpotent, alors 1 - x est une unité, parce que $x^n = 0\,$ entraîne

$(1 - x) (1 + x + x^2 + \ldots + x^{n - 1}) = 1 - x^n = 1\,$.

Anneau réduit

Un anneau sans élément nilpotent autre que 0 est dit réduit.

En physique

Un opérateur $Q\,$ qui satisfait à $Q^2=0\,$ est nilpotent. La charge BRST est un exemple important en physique.