Approximation sigma

En mathématiques, l’approximation sigma, imaginée par Cornelius Lanczos, est une méthode de fenêtrage qui permet d'ajuster une série de Fourier pour éliminer le phénomène de Gibbs qui pourrait survenir aux discontinuités.

Principe

Une approximation sigma appliquée à une série de période T peut s'écrire :

$s(\theta) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{k=1}^{m-1} \mathrm{sinc}\Bigl(\frac{k}{m}\Bigr)\cdot \left[a_{k} \cos \Bigl( \frac{2 \pi k}{T} \theta \Bigr) +b_k\sin\Bigl( \frac{2 \pi k}{T} \theta \Bigr) \right],$

selon la fonction sinus cardinal normalisée

$\mathrm{sinc}\, x = \frac{\sin \pi x}{\pi x}.$

où le terme

$\mathrm{sinc}\Bigl(\frac{k}{m}\Bigr)$

est le « facteur σ de Lanczos » qui est à l'origine de la suppression de la plus grande partie des oscillations supplémentaires dues au phénomène de Gibbs. Il ne résout cependant pas tout à fait le problème, mais on peut mettre au carré, ou même au cube, l'expression dans les cas extrêmes.

Bibliographie

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sigma approximation » (voir la liste des auteurs)
• (en) Cornelius Lanczos, Linear differential operators, Londres & New York, éd. van Nostrand, 1961 (réimpr. 1997) (ISBN 0-486-68035-5), « Local smoothing by integration » 
• (en) Forman S. Acton, Numerical Methods that (usually) Work, The Mathematical Association of America, 1970 (réimpr. 1997), 569 p. (ISBN 0883854503), « Fourier Series »