Approximation des régimes quasi-stationnaires

En électromagnétisme, l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS, on parle aussi d'ARQP pour « permanents » au lieu de « stationnaires ») consiste à considérer comme négligeable le temps de propagation des ondes électromagnétiques (OEM) devant la période du signal.

Ainsi, pour une OEM sinusoïdale de période temporelle T et de période spatiale λ, telle que λ = c.T (où c désigne la vitesse de l'onde), et pour un observateur situé à une distance D d'un point quelconque du circuit, on est dans le cadre de l'ARQS si D < < λ.

Sommaire

Exemples

Soit un émetteur grandes ondes de fréquence f = 180kHz (T = 5,6μs).

  • Soit un récepteur situé à une distance D = 10cm de l'émetteur. Alors, le temps de propagation sera Δt = D / c = 0,33ns. Δt < < T, donc l'approximation est valable.
  • Soit un récepteur situé à une distance D = 1km de l'émetteur.

Alors, le temps de propagation sera Δt = D / c = 3,3μs. Δt n'est plus du tout négligeable devant T, l'approximation n'est donc plus valable.

Conséquence dans l'écriture des équations de Maxwell

L'équation de Maxwell-Ampère :

\overrightarrow{\mathrm{rot}} \overrightarrow{B} = \mu_0 \overrightarrow{j} +  \varepsilon_0 \mu_0  \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}

en régime variable, donne le rotationnel du vecteur champ magnétique comme une somme de deux termes.

Or, dans l'ARQS (c'est-à-dire quand la fréquence est assez faible pour une dimension de circuit donnée), le second terme \varepsilon_0 \mu_0 \tfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t} est en général négligeable devant le premier \mu_0 \overrightarrow{j} (l'exception la plus courante concerne l'espace inter-armatures d'un condensateur, dans lequel \overrightarrow{j} est nul).

L'équation de Maxwell-Ampère devient

\overrightarrow{\mathrm{rot}} \overrightarrow{B} = \mu_0 \overrightarrow{j} .

Conséquence pratique : loi des nœuds ou première loi de Kirchhoff

Si on applique l'opérateur divergence à l'équation de Maxwell-Ampère, on obtient :

\mathrm{div} \bigl( \overrightarrow{\mathrm{rot}} \overrightarrow{B}\bigr) =  \mathrm {div}( \mu_0 \overrightarrow{j} ) .

Ce qui, selon les règles de l'analyse vectorielle, donne :

\mathrm{div} \overrightarrow{j} =  0.

On applique ensuite le théorème de Green-Ostrogradski :

\iiint_{V} \mathrm{div} \overrightarrow{j} \cdot\mathrm d \tau =
\iint_{S} \overrightarrow{j} \cdot\mathrm d \vec S \ =  I_{\rm\grave a~travers~la~surface~ferm\acute ee} = 0.

La somme algébrique des intensités passant par un nœud est donc nulle.

Voir aussi


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