Approximation de Boussinesq

Propagation d'une onde de gravité sur un banc de sable sous marin de forme elliptique - Modélisation par approximation de Boussinesq

En dynamique des fluides, l'approximation de Boussinesq, nommée en l'honneur de Joseph Boussinesq, est utilisée dans les équations de modification des fluides pour négliger les forces de compression excepté pour calculer les forces de flottabilité hydrostatique. L'approximation prend ainsi comme hypothèse que les fluides ont une masse volumique constante qui ne dépend que de sa température si l'on considère que la dimension horizontale est beaucoup plus grande que celle verticale. Dans le cas où on retrouve deux fluides de densités différentes en contact, g, la constante de gravité locale, exerce une force vers le bas différente selon la densité de chaque fluide et mène à leur stratification.

Les flux obéissant à l'approximation de Boussinesq sont fréquents dans la nature : zones frontales entre les masses d'air, zones de discontinuité océaniques, vents catabatiques, dispersion des gaz polluants denses et ventilation, climatisation, etc., ce qui rend les calculs physiques plus simples. Par contre, les ondes sonores n'obéissent pas à cette approximation puisqu'elles sont issues de la compression du milieu, donc de variations de masse volumique.

Principe

Joseph Boussinesq

Article détaillé : Équations de Navier-Stokes.

La formulation différentielle des équations de masse et de mouvement qui régissent les fluides est donnée par :

• Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse) $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot (\rho \vec{v}) = 0$

• Équation de bilan de la quantité de mouvement $\frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \left(\rho \vec{v} \otimes \vec{v} \right) = - \overrightarrow{\nabla} p + \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{\overrightarrow {\tau}} + \rho \vec{f}$

Dans ces équations :

• t représente le temps (unité SI : s) ;
• ρ désigne la masse volumique du fluide (unité SI : kg.m ^{− 3}) ;
• $\vec{v} = ( v_1, v_2, v_3 )$ désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : m.s ^{− 1}) ;
• p désigne la pression (unité SI : Pa) ;
• $\overrightarrow{\overrightarrow{\tau}} = \left( \tau_{i,j} \right)_{i,j}$ est le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : Pa) ;
• $\vec{f}$ désigne la résultante des forces massiques s'exerçant dans le fluide (unité SI : N.kg ^{− 1}) ;

On voit que chacune de ces deux équations comporte la variable $\,\rho$. Si la variation de celle-ci est négligeable, dans le temps et l'espace dans un volume, les équations seront grandement simplifiée car :

• $\, \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$
• $\overrightarrow{\nabla} \rho = 0$

Et laisse les équations :

• Équation de continuité appelée alors équation d'incompressibilité $\overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{v}= 0$

• Équation de bilan de la quantité de mouvement $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \overrightarrow{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \overrightarrow{\nabla} p + \nu \nabla^2 \vec{v}+ \vec{f}$

où $\nu = \tfrac{\mu}{\rho}$ désigne la viscosité cinématique du fluide (unité SI : m².s ^{− 1})

Dans ces dernières, le seul endroit où la masse volumique subsiste est dans $\frac{1}{\rho} \overrightarrow{\nabla} p$ et ν. Or $\overrightarrow{\nabla}p$ dépend de $\overrightarrow g$ (la constante de gravité) selon l'équilibre hydrostatique.

Utilisation

Si on peut négliger les variations de la masse volumique entre deux fluides, la seule force qui s'exercera sera celle de la gravité. En effet, la variation de ν par la variation de densité dû au changement de température horizontale est très minime dans la plupart des fluides. L'approximation de Boussinesq est donc acceptable dans la plupart des situations à large échelle en météorologie et océanographie.

Supposons deux fluides ayant des densités ρ₁ et ρ₂ alors que Δρ = ρ₁ − ρ₂ est négligeable.

On peut alors utiliser un $\bar \rho$ pour les décrire. Dans cette situation, la force hydrostatique sera :

$g' = g{\rho_1-\rho_2\over {\bar \rho}}$.

Onde de surface type Boussinesq sur une couche fluide

Exemple : une vague scélérate est une vague océanique très haute, modélisable comme solution particulière d’équations non linéaires, telles que l’équation de l’onde de Boussinesq ou l’équation de Korteweg et de Vries.

Inversion

Un des avantages de cette approximation est que les équations restent les mêmes dans le fluide supérieur et inférieur. Par exemple, dans une pièce chaude dont les fenêtres sont ouvertes sur un environnement plus frais, l'air moins dense de la pièce monte au plafond et l'air extérieur plus dense entre et se dirige vers le plancher. Dans la situation inverse, une chambre froide dans un environnement chaud, l'air chaud extérieur entre dans la chambre et se retrouve au plafond alors que l'air frais de la pièce demeure au sol. Si on est dans des conditions d'approximation de Boussinesq, ces deux situations sont similaires mais miroirs et les équations qui s'appliquent pour l'une sont les mêmes pour l'autre, à un signe négatif près (selon l'équation de g').

Flux non-Boussinesq

Un exemple où l'approximation ne s'applique pas est celui de bulles d'air chaud s'élevant dans un liquide. Celles-ci prendront la forme de sphères. Par contre, des gouttes d'eau tombant dans l'air prendront une forme oblongue et se briseront souvent en plus petites gouttes. Il n'y a pas de réciprocité dans ces deux cas, car la tension superficielle de l'eau s'ajoute à l'équation du comportement des bulles.

Voir aussi

• Joseph Boussinesq
• Nombre de Boussinesq

Liens externes

• Joseph Boussinesq and his approximation: a contemporary view, R.Kh. Zeytounian, Comptes Rendus Mécanique; Volume 331, numéro 8,pages 575-586 (août 2003).