Approximation d'Euler

Méthode d'Euler

En mathématiques, la méthode d'Euler, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler, est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles.

Équation différentielle

La méthode d'Euler est une méthode numérique élémentaire de résolution d'équations différentielles du premier ordre, de la forme

$\forall x\in I, u'(x)=f(x,u(x))$

où $I\$ est un intervalle de $\mathbb R$ et $f\$ une fonction réelle sur $I\times\mathbb R$.

Étant donnée une condition initiale $(a,u(a))\in I\times\mathbb R$, la méthode fournit pour tout point $b\in I$ une suite $(u_n(b))_{n\in\mathbb N}$ d'approximations de la valeur $u(b)\$ que prend, lorsqu'elle existe, la solution de l'équation qui correspond à cette condition initiale. Divers jeux de conditions sur $f\$ peuvent assurer la convergence de cette suite.

$u_n(b)\$ s'obtient en calculant $n\$ valeurs intermédiaires $(y_i)_{i\in[0,n]}$ de la solution approchée aux points $(x_i)_{i\in[0,n]}$ régulièrement répartis entre $a\$ et $b\$, donnés par

$x_i = a + i\frac {b-a}{n}.$

En étendant cette notation à $x_0 = a,\ y_0 = u(a)$ et $x_{n} = b,\ y_{n} = u_n(b)$ et en utilisant l'approximation de la dérivée

$u'(x_i) \simeq \frac {u(x_{i+1})-u(x_i)}{x_{i+1}-x_i}$

On en déduit la relation suivante :

$\frac {y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}=f(x_i,y_i)$

Les valeurs intermédiaires sont alors données par la relation de récurrence

$y_{i+1} = y_i + (x_{i+1}-x_i)f(x_i, y_i),\ i\in[0,n-1].$

qui est le schéma d'Euler explicite.

En remarquant, que l'on peut aussi approcher la dérivée en x_{i + 1} par la même relation

$u'(x_{i+1}) \simeq \frac {u(x_{i+1})-u(x_i)}{x_{i+1}-x_i}$

on en déduit la relation de récurrence

$y_{i+1} = y_i + (x_{i+1}-x_i)f(x_{i+1}, y_{i+1}),\ i\in[0,n-1].$

qui est le schéma d'Euler implicite. On notera que dans ce schéma, le terme y_{i + 1} apparaît des deux côtés de l'équation, ce qui contraint à utiliser des méthodes de résolution numérique du type de la relation de Newton-Raphson pour déterminer y_{i + 1} à chaque itération si la fonction $f\$ est non-linéaire.

Intégration d'une fonction

L'intégration d'une fonction continue sur un segment peut être vue comme un cas particulier où la fonction $f\$ est continue et ne dépend que de $x\$. On démontre alors aisément, en utilisant la continuité uniforme de $f\$ sur $[a,b]\$ (théorème de Heine), que la suite $(u_n(b))_{n\in\mathbb N}$ est de Cauchy, et donc converge par complétude de $\mathbb R$.

Méthode d'Euler pour une fonction

Pour calculer des valeurs approchées d'une primitive G de f sur I = [x₀, x_n], on divise I en n intervalles et on choisit $h =\frac{x_n - x_0}{n}$

Pour la valeur initiale y₀ on a F(x₀) = G(x₀) = y₀ ce qui permet de placer le premier point A₀ (x₀ ; y₀).

Pour les n valeurs x₁ = x₀ + h, x₂ = x₁ + h, …, x_n = x_n-1 + h, on calcule de proche en proche, en relation avec la propriété de la dérivée citée ci-dessus, les n valeurs approchées F(x₁), F(x₂)…,  F(x_n) de G.

En effet G est dérivable en x₀ et G'(x₀) = f(x₀) :

F(x₀ + h) = F(x₀) + h f(x₀) donc F(x₁) = y₀ + hG'(x₀) $\approx$ G(x₁) ; soit y₁ = y₀ + h f(x₀) et F(x₁) = y₁ $\approx$ G(x₁).

On recommence avec x₁ :

F(x₁ + h) = F(x₁) + h f(x₁) donc F(x₂) = y₁ + hG'(x₁) $\approx$ G(x₁) + hG'(x₁) $\approx$ G(x₂) ; soit y₂ = y₁ + h f(x₁) et F(x₂) = y₂ $\approx$ G(x₂).

Puis y₃ = y₂+ h f(x₂) = F(x₃) $\approx$ G(x₃).

Et ainsi de suite n itérations jusqu'à y_n = y_n-1 + h f(x_n-1) = F(x_n) $\approx$ G(x_n).

Exemple : $f(x)= \frac{x}{2}$

Étant donné la fonction $f(x)= \frac{x}{2}$ et des valeurs initiales x₀ = 1 et $y_0 = F(x_0)= \frac{1}{4}$.

Le calcul des valeurs F(x₁), F(x₂), F(x₃)… permet d'obtenir la représentation graphique de F par les segments [A₀A₁], [A₁A₂], [A₂A₃]…

La fonction $f(x)= \frac{x}{2}$ a pour primitive $G(x)= \frac{x^2}{4}$ avec x₀ = 1 et $y_0 = G(x_0)= \frac{1}{4}$.

La courbe (C) représentative de G est ici placée sur le même graphe pour visualiser le calcul des tangentes.

La fonction affine est une approximation de la primitive G.

Lien externe

Augmenter n pour diminuer h et obtenir de bien meilleurs résultats :

voir Méthode d'Euler - MIAM

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