Approximation affine
Tangente au point (a, f(a))

En mathématiques, une approximation affine est une approximation d'une fonction au voisinage d'un point à l'aide d'une fonction affine.

Par exemple, étant donné une fonction dérivable f d'une variable réelle, et un réel a, il existe une fonction ε définie dans un voisinage de a telle que

f(x)=f(a)+f\,'(a)(x - a)+\varepsilon(x)

ε s'appelle le reste. Cette formule apparaît comme un cas particulier (n = 1) de la formule de Taylor : c'est un développement limité d'ordre 1.

Une approximation affine de f s'obtient en négligeant le reste. La fonction x\mapsto f(a) + f\,'(a)(x-a) représente alors une approximation affine de f en a.

On écrit alors, pour x dans un voisinage de a

 f(x) \simeq f(a)+f\,'(a)(x-a).

L'expression de droite correspond à l'équation y=f(a)+f\,'(a)(x-a) de la tangente à la courbe représentative de f au point (a,f(a)), et pour cette raison, certains appellent cette méthode l'approximation tangente ou approximation affine tangente.

Il est aussi possible d'utiliser des approximations pour les fonctions vectorielles d'une variable vectorielle, dans laquelle f\,'(a) est remplacée par une matrice jacobienne. L'approximation correspond alors à l'équation d'une droite tangente, ou d'un plan tangent, ou d'un hyperplan tangent. Cela s'applique aussi aux fonctions d'une variable complexe.

Dans le cas plus général des espaces de Banach, on peut écrire

 f(x) \simeq f(a) + \mathrm Df(a)(x - a)

Df(a) est la différentielle de f en a. Ici l'application linéaire n'est autre que Df(a).

Exemple

Pour trouver une valeur approchée de \sqrt[3]{25} il est possible de procéder de la manière suivante:

  1. considérer la fonction f définie par  f(x)= x^{1\over 3}\,. Le problème se ramène à la recherche d'une valeur approchée de f(25).
  2. f est une fonction puissance donc dérivable sur \R_+^* et la dérivée est donnée par
     f\,'(x)= \frac13 x^{-\frac23}.
  3. Par l'approximation linéaire donnée par la dérivée, il vient, en prenant a = 27 :
     f(25) \simeq f(27) + f\,'(27)(25 - 27) = 3 - \frac2{27}.
  4. La valeur approchée 2,926 obtenue, apparaît assez proche de la valeur exacte 2,924…

Articles connexes



Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Approximation affine de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Approximation Linéaire — Tangente au point (a, f(a)) En mathématiques, une approximation linéaire est une approximation d une fonction, par une fonction affine. Par exemple, étant donné une fonction dérivable f d une variable …   Wikipédia en Français

  • Approximation lineaire — Approximation linéaire Tangente au point (a, f(a)) En mathématiques, une approximation linéaire est une approximation d une fonction, par une fonction affine. Par exemple, étant donné une fonction dérivable f d une variable …   Wikipédia en Français

  • Approximation linéaire — Tangente au point (a, f(a)) En mathématiques, une approximation linéaire est une approximation d une fonction, par une fonction affine. Par exemple, étant donné une fonction dérivable f d une variable …   Wikipédia en Français

  • Affine arithmetic — (AA) is a model for self validated numerical analysis. In AA, the quantities of interest are represented as affine combinations (affine forms) of certain primitive variables, which stand for sources of uncertainty in the data or approximations… …   Wikipedia

  • Affine connection — An affine connection on the sphere rolls the affine tangent plane from one point to another. As it does so, the point of contact traces out a curve in the plane: the development. In the branch of mathematics called differential geometry, an… …   Wikipedia

  • Approximation d'Ellingham — En thermodynamique chimique, l approximation d Ellingham consiste à considérer que les variations standard d enthalpie et d entropie sont approximativement constantes dans un large domaine de température. Cette approximation permet notamment d… …   Wikipédia en Français

  • Approximation d'Euler — Méthode d Euler En mathématiques, la méthode d Euler, nommée ainsi en l honneur du mathématicien Leonhard Euler, est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition… …   Wikipédia en Français

  • Fonction affine par morceaux —  Ne pas confondre avec la notion d application linéaire par morceaux en géométrie. En mathématiques, une fonction affine par morceaux est une fonction définie sur une réunion d intervalles réels et dont la restriction à chacun de ces… …   Wikipédia en Français

  • FONCTIONS (REPRÉSENTATION ET APPROXIMATION DES) — Il arrive très souvent que, dans les problèmes issus des mathématiques ou des autres sciences, les fonctions qui interviennent soient définies par des procédés qui ne permettent pas d’étudier de manière efficace leurs propriétés. C’est le cas des …   Encyclopédie Universelle

  • Projection affine — Pour les articles homonymes, voir Projection. En géométrie affine, une projection affine est une application ponctuelle de l espace dans un sous espace, dans laquelle un point et son image sont dans une direction fixe appelée direction de la… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”