Approximation De Bernstein

Approximation de Bernstein

L'approximation de Bernstein est une méthode d'approximation polynomiale permettant d'approcher uniformément une fonction continue f\, définie sur l'intervalle [0,1]\, par une famille de polynômes, appelés polynômes de Bernstein. Cela donne une version constructive du théorème de Stone-Weierstrass.

Ces polynômes sont de la forme

B^k_n(x)=C_n^k x^k (1-x)^{n-k}\,

pour un entier n\,, où C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\, est le coefficient binomial, c'est-à-dire le nombre de combinaisons d'un ensemble de k éléments (sans les distinguer) parmi n\,. On construit donc une approximation de f\, par la fonction

b_n(f,x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right)B^k_n(x)\,.

On construit b_n(f,\cdot) à partir des valeurs de f aux points 0,1 / n,...,1 mais, en ces points, la valeur de b_n(f,\cdot) peut être différente de celle de f. Selon certaines définitions, cela en fait un procédé d'interpolation ou non.

La convergence uniforme de b_n(f,x)\, vers f\, s'énonce donc de la façon suivante : pour tout \epsilon>0\,, il existe un entier n\, assez grand tel que |f(x)-b_m(f,x)|<\epsilon\, pour tout x\in[0,1]\, et tout entier m\geq n\,.

Il convient de noter que si X\, est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres (n,x)\,, alors b_n(f,x)\, n'est rien d'autre que l'espérance de f(X/n)\,, c'est-à-dire la moyenne de f\, appliquée au nombre de succès de n expériences indépendantes de probabilité x\,. Le convergence ponctuelle de b_n(f,x)\, (c'est-à-dire pour chaque point x\,) vers f(x)\, est alors une conséquence immédiate de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre X/n\, et x\,, on en déduit facilement la convergence uniforme de b_n(f,\cdot)\, vers f\,

Référence

  • S. Bernstein, Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités. Charkow Ges. (2) 13, 1-2, 1912.
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