Application sous-linéaire

Soit V un espace vectoriel sur \R. On dit qu'une application s\,\colon\,V\to\R\cup\{+\infty\} est sous-linéaire lorsque :

(1) Pour tous vecteurs x et y de V, s(x+y)\leq s(x)+s(y) (on dit que s est sous-additive)

(2) Pour tout vecteur x et tout λ > 0, sx) = λs(x) (on dit que s est positivement homogène de degré un)

(3) s n'est pas l'application constante prenant la seule valeur +\infty.

Les applications sous-linéaires sont convexes.

Des exemples notables d'applications sous-linéaires sont d'une part les semi-normes et d'autre part les jauges des convexes contenant l'origine.

Références

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001 (ISBN 3540422056), p. 123-133


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