Application lipschitzienne

En analyse mathématique, une application lipschitzienne (du nom de Rudolf Lipschitz) est une application possédant une certaine propriété de régularité qui est plus forte que la continuité. Intuitivement, c'est une fonction qui est limitée dans sa manière d'évoluer. Tout segment reliant deux points du graphe d'une telle fonction aura une pente inférieure à une constante appelée constante de Lipschitz.

Les fonctions lipschitziennes sont un cas particulier de fonctions höldériennes.

Sommaire

Définitions

Cas réel

Illustation graphique avec un cône
Une fonction réelle est k-lipschitzienne si le double cône blanc peut se déplacer le long de la fonction sans jamais avoir avec elle d'autre contact qu'au point central. Plus k est petit, plus le cône s'élargit et moins la fonction peut être abrupte.

Soient I un intervalle de \R (non vide et non réduit à un point), f: I\to\R une application et k un réel strictement positif.

On dit que f est k-lipschitzienne si

\forall (x,y) \in I^2,\ |f(x)-f(y)| \leq k|x-y|

Cas des espaces métriques

Soient (E,dE) et (F,dF) des espaces métriques, f: E \to F une application et k un réel strictement positif.

On dit que f est k-lipschitzienne si

\forall (x,x') \in E^2,\ d_F \left(f(x),f(x')\right) \leq k d_E(x,x')

De plus

  • f est dite lipschitzienne s'il existe k > 0 tel que f soit k-lipschitzienne.
  • Le plus petit k tel que f soit k-lipschitzienne est appelé constante de Lipschitz.
  • f est dite contractante s'il existe un k\in[0,1[ tel que f soit k-lipschitzienne.
  • f est dite localement lipschitzienne si pour tout  x\in I il existe un intervalle J tel que  x\in J\subset I et tel que la restriction de f à J soit lipschitzienne.

Propriétés

Quelques propriétés

  • D'après un théorème de Rademacher, toute fonction lipschitzienne définie sur \mathbb{R}^n est différentiable presque partout pour la mesure de Lebesgue. Cela rend les fonctions lipschitziennes très utiles dans diverses branches des mathématiques, par exemple en théorie géométrique de la mesure où la différentiabilité presque partout est largement suffisante.
  • Le théorème de Kirszbraun affirme qu'une fonction lipschitzienne f : A \to \mathbb{R}^m, où A est un sous-ensemble de \mathbb{R}^n peut se prolonger en une fonction lipschitzienne définie sur \mathbb{R}^n tout entier avec la même constante de Lipschitz.

Caractérisation parmi les fonctions dérivables

Une fonction f dérivable est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est bornée.

En effet, si f est k-lipschitzienne, la valeur absolue de chaque quotient

 \frac{f(x) - f(x')}{x - x'}

pour x et x' distincts, est majorée par k; par passage à la limite, on en déduit que la valeur absolue de la dérivée de f est elle aussi majorée par k.

Et réciproquement, si la valeur absolue de la dérivée est majorée par k, f est k-lipschitzienne, d'après l'inégalité des accroissements finis.

Exemples

  • Toute fonction (à valeurs réelles) continûment dérivable sur un intervalle réel fermé borné est lipschitzienne (en effet, sa dérivée, continue sur cet intervalle, est bornée d'après le théorème des bornes).
  • Toute fonction continûment dérivable sur un intervalle est localement lipschitzienne (conséquence immédiate de l'exemple précédent)
  • La fonction  f : [0, 1] \to \R définie par  f(x) = \sqrt{x} n'est pas lipschitzienne.
    • Démonstration directe : pour x>0, on a (f(x)-f(0))/x=1/\sqrt{x}, qui n'est pas borné au voisinage de x=0.
    • Démonstration en utilisant la contraposée du théorème sur la dérivée d'une fonction lipschitzienne : la restriction de f à ]0,1] est dérivable ; sa dérivée est x\mapsto 1/(2\sqrt{x}) qui n'est pas bornée sur ]0,1], donc cette restriction de f n'est pas lipschitzienne ; a fortiori, f ne l'est pas non plus.

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