Application linéaire

En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire définie dans ces espaces vectoriels, ou, en d’autre termes, qui « préserve les combinaisons linéaires ».

Sommaire

Définitions

Soit ƒ une application de E dans FE et F sont deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K.

L'application ƒ est une application linéaire (ou morphisme de K-espaces vectoriels) si et seulement si :

  • \forall x\in E,\forall y\in E,f(x+y)=f(x)+f(y),
  • \forall\lambda\in K,\forall x\in E,f(\lambda x)=\lambda f(x).

Une application ƒ possédant la première propriété est dite additive, et, pour la seconde, homogène. Elle possède ces deux propriétés à la fois si et seulement si :

  • \forall(x,y)\in E^2,\forall(\lambda,\mu)\in K^2,f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y),

ou plus simplement, si et seulement si :

  • \forall(x,y)\in E^2,\forall\mu\in K,f(x+\mu y)=f(x)+\mu f(y).
Un isomorphisme est un morphisme bijectif.
Un endomorphisme est un morphisme ayant même espace vectoriel de départ et d'arrivée.
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
Si l'espace vectoriel d'arrivée est le corps K on parle de forme linéaire.

On note

  • LK(E,F) l’espace vectoriel des applications linéaires de E dans F ;
  • IsomK(E,F) l’ensemble des isomorphismes de E dans F;
  • LK(E) l’espace vectoriel des endomorphismes de E ;
  • GLK(E) (appelé aussi le groupe linéaire) le groupe des automorphismes de E.

(Le corps K en indice est parfois omis et implicite.)

Noyau et Image

Si ƒ est une application linéaire de E dans F, alors le noyau de ƒ, noté Ker(ƒ), et l’image de ƒ, notée Im(ƒ), sont définis par

\operatorname{Ker}(f)=\{\,x\in E \;|\; f(x)=0\,\}=f^{-1}(\{0\})
\operatorname{Im}(f)=\{\,f(x) \;|\; x\in E\,\}=f(E)

Ker provient de Kernel, traduction de « noyau » en allemand. Im provient de image. L'ensemble Ker(ƒ) est un sous-espace vectoriel de E et l'ensemble Im(ƒ) est un sous-espace vectoriel de F. Plus généralement,

Le théorème de factorisation affirme que f induit un isomorphisme de l'espace vectoriel quotient E/kerf sur l'image im f. Deux espaces isomorphes ayant même dimension, il suit la relation suivante, valable pour un espace E de dimension finie, appelée théorème du rang :


  \dim(\operatorname{Ker}( f )) 
+ \dim(\operatorname{Im}( f )) 
= \dim( E ) \,.

Le nombre dim( Im(ƒ) ) est aussi appelé rang de ƒ et est noté rg(ƒ).

Exemples

  • l'endomorphisme appelé homothétie vectorielle de rapport a : f : x \mapsto a\cdot xa est un scalaire ;
  • l’application dérivation, de l'espace des applications dérivables de R dans R vers l'espace de toutes les applications de R dans R :
    d : \mathcal D(\R,\R)\to\mathcal F(\R,\R),\qquad h\quad\mapsto\quad h'

Propriétés

  • L'ensemble L(E,F) des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel.
  • La composée de deux applications linéaires est linéaire. Plus précisément :
\forall f\in L(E,F),\ \forall g\in L(F,G),\quad g\circ f\in L(E,G).
  • Une application linéaire f de L(E,F) est entièrement déterminée par l'image par f d'une base de E. Plus précisément : pour toute base (e_i)_{i\in I} de E et toute famille (f_i)_{i\in I} de vecteurs de F (indexée par le même ensemble I ), il existe une unique application linéaire f de E dans F telle que pour tout indice i, f(ei) = fi.
\dim(L(E,F))=\dim(E)\times\dim(F).
  • Le calcul de l'image d'un vecteur par une application linéaire à l'aide de l'utilisation d'une base utilise le concept de matrice.

Articles connexes

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Opérateur borné entre espaces vectoriels normés


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