Application contractante

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une application contractante est une application k-lipschitzienne avec 0\leq k <1. Le théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé concerne les applications contractantes.

Sommaire

Théorème du point fixe pour une application contractante

Théorème du point fixe pour une application contractante — Soit E un espace métrique complet (non vide) et f une application contractante de E dans E. Il existe un point fixe unique x * de f dans E, c'est-à-dire tel que f(x * ) = x * . De plus toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence xn + 1 = f(xn) converge vers x * .

Ce théorème est souvent mentionné comme Théorème du point fixe de Banach, qui l'a énoncé en 1922 dans le cadre de la résolution d'équations intégrales[1].

Approximations successives

Ce résultat donne un algorithme de calcul du point fixe (c'est la méthode des approximations successives) contrairement à d'autres théorèmes de point fixe qui nous assurent seulement de l'existence de points fixes sans indiquer comment les déterminer. De plus en passant à la limite pour p dans l'inégalité (*) et en utilisant la continuité de la distance d, on obtient (sans connaître exactement x * ) un majorant (souvent "pessimiste") de l'erreur:

d(x^*,x_n) \leq  \frac {k^n}{1-k} d(x_1,x_0).

Remarquons que si on note kn le rapport de Lipschitz de l'itérée n fois de l'application f on a majoré kn par kn. Cette majoration est souvent très mauvaise, ce qui explique que la majoration précédente de d(x * ,xn) soit souvent pessimiste. On peut alors énoncer un théorème du point fixe légèrement modifié qui permet d'aboutir à de meilleures majorations (par exemple dans le cas de la résolution des équations différentielles)

Théorème du point fixe modifié — Soit E un espace métrique complet (non vide) et f une application de E dans E. On suppose que pour tout entier n l'application obtenue en itérant n fois la fonction f est lipschitzienne de rapport kn et que la série de terme général kn est convergente. Alors il existe un point fixe unique x * de f dans E, c'est-à-dire tel que f(x * ) = x * . De plus toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence xn + 1 = f(xn) converge vers x * .

Dans ce cas on a la majoration

d(x^*,x_n) \leq \left(\sum_{i=n}^{\infty}k_i\right)d(x_1,x_0).

Applications classiques

Annexes

Note

  1. S. Banach, Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales, Fund. Math. 3(1922), pp .133-181

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