Application Lipschitzienne

Application lipschitzienne

En analyse mathématique, une application lipschitzienne (du nom de Rudolf Lipschitz) est une application possédant une certaine propriété de régularité qui est plus forte que la continuité. Intuitivement, c'est une fonction qui est limitée dans sa manière d'évoluer. Tout segment reliant deux points du graphe d'une telle fonction aura une pente inférieure à une constante appelée constante de Lipschitz.

Les fonctions lipschitziennes sont un cas particulier de fonctions höldériennes.

Définitions

Cas réel

Soient I un intervalle de $\R$ (non vide et non réduit à un point), $f: I\to\R$ une application et k un réel strictement positif.

On dit que f est k-lipschitzienne si et seulement si

$\forall (x,y) \in I^2,\ |f(x)-f(y)| \leq k|x-y|$

Cas des espaces métriques

Soient (E,d_E) et (F,d_F) des espaces métriques, $f: E \to F$ une application et k un réel strictement positif.

On dit que f est k-lipschitzienne si et seulement si

$\forall (x,x') \in E^2,\ d_F \left(f(x),f(x')\right) \leq k d_E(x,x')$

De plus

• f est dite lipschitzienne s'il existe k > 0 tel que f soit k-lipschitzienne.
• Le plus petit k tel que f soit k-lipschitzienne est appelé constante de Lipschitz.
• f est dite contractante si et seulement s'il existe un $k\in[0,1[$ tel que f soit k-lipschitzienne.

Propriétés

Quelques propriétés

• Toute fonction lipschitzienne est continue, et même uniformément continue.

Démonstration

Soient $f:I \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction k-lipschitzienne (avec I un intervalle réel et k un réel positif) et $\varepsilon >0$.

On pose $\eta=\frac{\varepsilon}{k+1}>0$. Comme f est k-lipschitzienne, on a:

$\forall (x,x') \in I^2,~|x-x'| \leq \eta \Longrightarrow |f(x)-f(x')| \leq k \frac{\varepsilon}{k+1}<\varepsilon$.

Ceci prouve que f est uniformément continue sur I.

La démonstration s'adapte au cas des espaces métriques.

• D'après un théorème de Rademacher, toute fonction lipschitzienne définie sur $\mathbb{R}^n$ est différentiable presque partout pour la mesure de Lebesgue. Cela rend les fonctions lipschitziennes très utiles dans diverses branches des mathématiques, par exemple en théorie géométrique de la mesure où la différentiabilité presque partout est largement suffisante.
• Le théorème de Kirszbraun affirme qu'une fonction lipschitzienne $f : A \to \mathbb{R}^m$, où A est un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$ peut se prolonger en une fonction lipschitzienne définie sur $\mathbb{R}^n$ tout entier avec la même constante de Lipschitz.

Caractérisation des fonctions dérivables et lipschitziennes

Une fonction f dérivable est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est bornée.

En effet, si f est k-lipschitzienne, la valeur absolue de chaque quotient

$\frac{f(x) - f(x')}{x - x'}$

pour x et x' distincts, est majorée par k; par passage à la limite, on en déduit que la valeur absolue de la dérivée de f est elle aussi majorée par k.

Et réciproquement, si la valeur absolue de la dérivée est majorée par k, f est k-lipschitzienne, d'après l'inégalité des accroissements finis.

Exemples

• Toute fonction continûment dérivable sur un intervalle fermé borné est lipschitzienne (en effet, sa dérivée, continue sur cet intervalle, est bornée d'après un théorème de Weierstrass).
• La fonction $f : [0, 1] \to \R$ définie par $f(x) = \sqrt{x}$ n'est pas lipschitzienne.

• Démonstration directe : pour x>0, on a $(f(x)-f(0))/x=1/\sqrt{x}$, qui n'est pas borné au voisinage de x=0.
• Démonstration en utilisant la contraposée du théorème sur la dérivée d'une fonction lipschitzienne : la restriction de f à ]0,1] est dérivable ; sa dérivée est $x\mapsto 1/(2\sqrt{x})$ qui n'est pas bornée sur ]0,1], donc cette restriction de f n'est pas lipschitzienne ; a fortiori, f ne l'est pas non plus.

Voir aussi

• Continuité
• Continuité uniforme
• Limite
• Dérivée

Ce document provient de « Application lipschitzienne ».