Application De Gauss

Application de Gauss

En géométrie différentielle classique, l'application de Gauss est une application naturelle différentiable sur une surface de R3, à valeurs dans la sphère unité S2, et dont la différentielle permet d'accéder à la seconde forme fondamentale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss.

Application de Gauss

Soit Σ une surface orientée de classe Ck + 1 de R3.

Pour P un point de Σ, il existe un unique vecteur normal unitaire Γ(P) compatible avec l'orientation de Σ. L'application de Gauss est l'application de classe Ck :

\Gamma : \Sigma\rightarrow S^2 \,

On dispose d'une identification naturelle :

T_P\Sigma=T_{\Gamma(P)}S^2 \,

Endomorphisme de Weingarten

La différentielle de l'application de Gauss, vue comme opérateur linéaire de TPΣ, est un opérateur symétrique (appelé endomorphisme de Weingarten) dont la forme quadratique associée est la seconde forme fondamentale IIP de Σ en P.

De manière plus précise, pour tout vecteur tangent w\in T_P\Sigma, on a :

II_P(w)=-\langle d\Gamma(P)w|w \rangle \,
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