Application Contractante

Application contractante

En mathématiques, une application contractante est une application k-lipschitzienne avec 0\leq k <1. Les applications contractantes sont la matière de base du théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé.

Sommaire

Théorème du point fixe pour une application contractante

Théorème du point fixe pour une application contractante — Soit E un espace métrique complet (non vide) et f une application contractante de E dans E. Il existe un point fixe unique x * de f dans E, c'est-à-dire tel que f(x * ) = x * . De plus toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence xn + 1 = f(xn) converge vers x * .


Approximations successives

Ce résultat donne un algorithme de calcul du point fixe (c'est la méthode des approximations successives) contrairement à d'autres théorèmes de point fixe qui nous assurent seulement de l'existence de points fixes sans indiquer comment les déterminer. De plus en passant à la limite pour p dans l'inégalité (*) et en utilisant la continuité de la distance d, on obtient (sans connaître exactement x * ) un majorant (souvent "pessimiste") de l'erreur:

d(x^*,x_n) \leq  \frac {k^n}{1-k} d(x_1,x_0).

Applications classiques

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