Méthode de quadrature de Gauss

Méthodes de quadrature de Gauss

Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, les méthodes de quadrature sont des approximations de la valeur numérique d'une intégrale. En général, on remplace le calcul de l'intégrale par une somme pondérée prise en un certain nombre de points du domaine d'intégration (voir calcul numérique d'une intégrale pour plus d'informations). La méthode de quadrature de Gauss, du nom de Carl Friedrich Gauss, est une méthode de quadrature exacte pour un polynôme de degré 2n-1 avec n points pris sur le domaine d'intégration. Si ce dernier est (a,b), les méthodes sont de la forme

$I = \int_a^b f(x) \varpi(x) \,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$

où $\varpi : (a, b) \to\mathbb{R}_+$ est une fonction de pondération, qui peut assurer l'intégrabilité de f. Les w_i sont appelés les coefficients de quadrature (ou poids). Les points x_i, ou nœuds, sont réels, distincts, uniques et sont les racines de polynômes orthogonaux pour le produit scalaire $<f,g> = \int_a^b f(x)g(x) \varpi(x) \,dx$. Les poids et les nœuds sont choisis de façon à obtenir des degrés d'exactitudes les plus grands possibles.

Principe général

On souhaite évaluer numériquement l'intégrale

$I = \int_a^b f(x) \varpi(x) \,dx$

Le domaine d'intégration (a,b) couvre plusieurs cas:

• Intervalles: comme [a,b], [a,b[, etc.
• La demi-droite réelle: $[a,+\infty[, ]-\infty;b]$
• La droite réelle tout entière: $\mathbb{R}$.

Théorème fondamental

Démonstration

Montrons que si la formule de la quadrature de Gauss marche, alors les noeuds et les poids sont fixés de manière unique. Supposons donc que nous avons des noeuds x_i et des poids ω_i, i=1..n tels que

Pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à 2n-1, $\int_a^b P(x)\varpi(x) dx \; = \; <P,1> \; = \; \sum_{i=1}^n \omega_i P(x_i)$.

Posons alors $P_n = \Pi_{i=1}^n (x-x_i)$. Il vient $\forall 0\leq k<n, \; <P_n,x^k> = <x^kP_n, 1> = \sum_{i=1}^n \omega_i x_i^k P_n(x_i) = 0$. Ainsi P_n est orthogonal à tout polynôme de degré inférieur au sien. Il est par conséquent le seul polynôme unitaire de la direction orthogonale aux polynômes de degré 1..n-1, dans l'espace vectoriel des polynômes de degré 1..n. L'article sur les polynômes orthogonaux montre alors que P_n a n racines distinctes, ce sont les x_i. Les poids ω_i s'obtiennent ensuite comme fonctions des x_i et de P_n.

Le domaine d'intégration et la fonction de pondération déterminent le type de la quadrature de Gauss. Le Tableau suivant résume les situations les plus communes.

Principales configurations de quadrature de Gauss

Domaine d'intégration	Fonction de pondération	Polynômes orthogonaux
(a,b)	$\varpi(x)$	Nom de la quadrature
[-1,1]	1	Legendre
]-1,1[	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	Tchebychev
$\mathbb{R}^+$	e − x	Laguerre
$\mathbb{R}$	$e^{-x^2}$	Hermite

Une fois le type de quadrature choisi, la formule à n points s'écrit :

$I(f) = \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$

Les nœuds sont déterminés comme les n racines du n ème polynôme orthogonal associé à la formule de quadrature ( polynômes de Legendre pour la formule de Gauss-Legendre, etc.).

On définit l'erreur comme E(f) = | I − I(f) | . Le degré d'exactitude d'une formule de quadrature est le degré le plus élevé de la famille des polynômes annulant E(f). On a le résultat suivant: une formule à n points admet un degré d'exactitude de 2n-1.

Méthode de Gauss-Legendre

Pour le problème d'intégration le plus classique, on utilise la méthode de Gauss-Legendre. Il s'agit d'intégrer la fonction f sur le segment [-1,1]. Les n nœuds sont les racines du n ème polynôme de Legendre, P_n(x), et les coefficients sont donnés par l'une ou l'autre égalité :

$w_i = \frac{-2}{(n+1) P'_{n}(x_i) P_{n+1}(x_i)} = \frac{4}{n P_{n+2}(x_i)P'_n(x_{i+2})}$

On peut aussi remarquer que la somme des coefficients est égale à 2. Le tableau suivant donne l'ensemble des informations pour réaliser le calcul approché de I pour les formules à un, deux et trois points.

Nombre de points, n	Poids, wi	Points, xi	Polynôme de Legendre
1	2	0	x
2	1, 1	$-\sqrt{1/3}$, $\sqrt{1/3}$	$\frac{1}{2}(3x^2-1)$
3	5/9, 8/9, 5/9	$-\sqrt{3/5}$, 0, $\sqrt{3/5}$	$\frac{1}{2}(5x^3-3x)$

On trouvera une table pour les cinq premières formules à l'adresse suivante : [1].

Exemple

On cherche à déterminer $\int_{-1}^1 (x+1)^2 dx$. On cherche à intégrer un polynôme de degré 2, 2 points suffisent pour obtenir la valeur exacte.

$\int_{-1}^1 (x+1)^2 dx = 1 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2+1\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2 = 8/3$

On peut facilement vérifier ce résultat car dans cet exemple, on connaît une primitive de (x + 1)².

$\int_{-1}^1 (x+1)^2 dx = \left[ \frac{(x+1)^3}{3} \right] ^{1}_{-1}= 8/3$

Cet exemple ne représente pas un cas pratique. En règle générale, on n'obtient jamais un résultat exact et bien entendu, on n'applique pas ces méthodes pour les fonctions dont on connaît une primitive.

Généralisation pour un intervalle [a,b]

Le domaine d'intégration [a, b] doit être changé en [-1, 1] avant d'appliquer les méthodes de quadrature de Gauss. Le changement se déroule ainsi :

$\int_a^b f(t)\,dt = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x + \frac{a+b}{2}\right)\,dx$

L'approximation de la valeur de l'intégrale devient :

$\frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$

Méthode de Gauss-Tchebychev

Cette formule est associée au poids $\varpi(x)=(1-x^2)^{-1/2}$ sur ]-1,1[. Pour une formule à n points, les nœuds sont

$x_i = \cos\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right)$

et les coefficients:

$w_i = \frac{\pi}{n}$

Liste des nœuds et poids pour des formules jusqu'à cinq points: [2].

Méthode de Gauss-Laguerre

Les $n\,$ nœuds sont les n racines du $n\,$-ième polynôme de Laguerre, $L_n(x)\,$ et les coefficients sont

$w_i = \frac{1}{(n+1) L'_{n}(x_i) L_{n+1}(x_i)} \,$

Les coefficients et les nœuds ne peuvent être calculés que pour n petit. Par exemple, pour $n=2\,$ :

n	$x_i\,$	$w_i\,$
2	$2 \pm \sqrt{2}$	$\frac{2\pm\sqrt{2}}{4}$

On trouvera les formules jusqu'à cinq points à l'adresse [3].

Maintenant, pour intégrer une fonction $f\,$ sur $\mathbb{R}^+$, il faut remarquer que

$\int_0^{+\infty} f(x) \, dx = \int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{\varpi(x)} \varpi(x) \, dx$

Il reste alors à appliquer la formule de quadrature à la fonction $g(x) = f(x)/\varpi(x)\,$.

Méthode de Gauss-Hermite

Sur $\mathbb{R}$, la formule de Gauss-Hermite est caractérisée par la pondération $\varpi(x)=e^{-x^2}$. Pour une formules à n points, les x_i sont calculés comme les n racines du n ème polynôme d'Hermite H_n(x); quant aux pondérations, elles sont obtenues à partir

$w_i = \frac{2^{n+1} n ! \sqrt{\pi}}{[H_n'(x_i)]^2}$

Les nœuds et les coefficients pour des formules d'ordre inférieur ou égal à cinq sont disponibles à l'adresse suivante [4].

Concernant l'intégration de f sur $\mathbb{R}$, il suffit d'appliquer la formule de quadrature à la fonction $f(x)e^{x^2}$.

Calcul des points et poids de quadrature

Pour obtenir les points et poids de quadrature pour un ordre élevé, on consultera avec profit l'ouvrage de Abramowitz et Stegun (pages 875 et suivantes) [5].

Voir aussi

• Calcul intégral (mathématiques élémentaires)
• Méthode des trapèzes
• Méthode de Simpson

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