Appariement (mathematiques)

Appariement (mathématiques)

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En théorie des graphes, un appariement ou couplage d'un graphe (en anglais matching) est un ensemble d'arêtes de ce graphe qui n'ont pas de sommets en commun.

Définitions

Soit un graphe G = (S,A), l'appariement M est un ensemble d'arêtes non-adjacentes deux à deux. C'est à dire, M est l'ensemble des arêtes (s_1,s_2)\in S telles que \forall ((s_1,s_2), (s_3,s_4)) \in M^2 avec (s_1,s_2)\neq(s_3,s_4), \forall i,j \in \{1,2,3,4\}, avec  i \neq j, alors s_i \neq s_j .

Un appariement maximum est un appariement contenant le plus grand nombre possible d'arêtes. Un graphe peut posséder plusieurs appariements maximum.

Un appariement maximal est un appariement M du graphe tel que toute arête du graphe possède une intersection non vide avec au moins une arête de M. Il en découle la propriété suivante : soit un appariement maximal M, si une arête quelconque de A qui n'est pas dans M est ajoutée à M , alors M n'est plus un appariement de G.

Un appariement parfait ou appariement complet est un appariement M du graphe tel que tout sommet du graphe est incident à exactement une arête de M.

Propriétés

Un appariement maximum est aussi un appariement maximal.

Un appariement parfait est aussi un appariement maximal.

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