Moment (mathématiques)

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En probabilités (mathématiques, statistiques), on définit le moment d'ordre n>0 d'une variable aléatoire X, s'il existe, le nombre $m_n = \mathbb{E}[~X^n~] \,$.

Notion de moment

La notion de moment en mathématiques, notamment en calcul des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique.

Soit une fonction $f : I \to \R$ continue sur un intervalle I (non réduit à un point) de $\R$. Étant donné un entier naturel n, le n-ième moment de f est défini (sous réserve d'existence) par :

$m_n(f)=\int_I x^n\,f(x)\,dx.$

Remarque : pour un entier naturel n donné, l'ensemble des fonctions continues sur I dont le moment d'ordre n existe est un espace vectoriel réel, et l'application $m_n : f \mapsto m_n(f)$ est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Estimation des moments

Lorsque le moment existe, on utilise souvent l'estimateur suivant pour le moment d'ordre k:

$\hat m^k= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} X^k_i\,\!$

à partir de l'échantillon $X_1, X_2, \cdots, X_n$.

On peut montrer que cet estimateur est sans biais.

Moments centrés

On définit le moment centré d'ordre n>0 d'une variable aléatoire X, s'il existe, le nombre $\mu_n = \mathbb{E}[~(X-\mathbb{E}(X))^n~] \,$.

Moments remarquables

Certains moments sont connus sous un nom particulier. Ils sont utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire.

• Le moment d'ordre un de la variable : $m_1 = \mathbb{E}[X] \,$ (noté souvent μ, parfois m) correspond à l'espérance

• Le moment d'ordre deux de la variable centrée : $\mu_2 = \sigma^2 = \mathbb{E} \left [\left(X-\mu\right)^2\right] \,$ (notée V(X) ) correspond à la variance.

• Le moment d'ordre trois de la variable centrée-réduite : $\gamma_1 = \frac {\mu_3} {\sigma^3} = \mathbb{E} \left[ \left(\frac{X-\mu}{\sigma} \right)^3 \right] \,$ correspond au coefficient d'asymétrie.

• Le moment d'ordre quatre de la variable centrée-réduite : $\beta_2 = \frac{\mu_4} {\sigma^4} = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4\right] \,$ correspond au kurtosis.

Formules de détermination récursive des moments

En définissant

• Les moments par rapport à l'origine (moments ordinaires ou raw moments en anglais):

$m_k(X) \equiv \mathbb{E}\left[X^k\right]\,$

.

• Les moments centrés, notés généralement $\mu_k(X)\,$ et qui se définissent ainsi :

$\mu_k(X) \equiv \mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^k]\,$

Il existe des formules (qui ressemblent à celle du binôme) permettant de calculer un moment centré d'ordre k à partir des moments ordinaires d'ordre inférieur ou égal à k, et réciproquement ; voici quelques exemples (jusqu'à l'ordre 4) :

$\mu_2 = m_2 - m^2_1\,$

$\mu_3 = m_3 -3\,m_1\,m_2 + 2\,m^3_1\,$

$\mu_4 = m_4 -4\,m_1\,m_3 + 6\,m^2_1\,m_2 - 3m^4_1\,\!$

et :

$m_2 = \mu_2 + m^2_1\,$

$m_3 = \mu_3 + 3\,m_1\mu_2 + m^3_1\,$

$m_4 = \mu_4 + 4\,m_1\mu_3 + 6\,m^2_1\mu_2 + m^4_1\,$

Fonction génératrice des moments

Article détaillé : Fonction génératrice des moments.

La fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X, définie par

$M_X(t) = \mathbb{E}\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R},$

est utilisée afin de générer les moments associés à la distribution de probabilités de la variable aléatoire X.

Problème des moments

Étant donnés un intervalle réel I et une suite (m_n) de nombres, on peut se demander s'il existe sur I une mesure de Borel (donc positive) μ telle que pour tout entier naturel n,

$m_n = \int x^n~\mathrm d\mu(x)$

et, le cas échéant, si une telle mesure est unique.

• Cette question est appelée problème des moments
  • de Hamburger (de) si l'intervalle I est ${}^\R$ tout entier ;
  • de Stieltjes s'il est égal à $[0,+\infty[$ ;
  • de Hausdorff si I est un segment [a,b] (c'est-à-dire lorsqu'il est fermé et borné).

Existence

L'existence d'une mesure de Borel μ sur ${}^\R$ répondant au problème équivaut à la condition de positivité suivante sur la suite (m_n) : les matrices de Hankel H_n associées à cette suite, définies par

$(H_n)_{i,j}=m_{i+j},~$

doivent être toutes positives.

Pour l'existence d'une mesure de Borel à support dans un segment donné [a,b], il existe une condition nécessaire et suffisante de forme similaire.

Ébauche de démonstration

• Considérons la forme linéaire ^φ définie sur les polynômes par :

$\varphi\left(\sum_ka_kx^k\right)=\sum_ka_km_k.$

• Si les m_n sont les moments d'une mesure de Borel μ sur [a,b] alors

$(1)\qquad\varphi(P)\ge 0$ pour tout polynôme P positif sur [a,b].

Réciproquement, si cette condition est vérifiée alors, d'après le théorème de prolongement de M. Riesz, ^φ s'étend en une forme linéaire positive sur l'espace de fonctions continues C([a,b]).

• D'après le théorème de représentation de Riesz, l'existence d'un tel prolongement positif pour ^φ équivaut à l'existence d'une mesure μ telle que pour tout polynôme P,

$\varphi(P)=\int P~\mathrm d\mu.$

• Ainsi, la condition (1) est nécessaire et suffisante pour qu'il existe une mesure sur [a,b] de moments m_n. En utilisant un théorème de représentation des polynômes positifs sur [a,b], la condition (1) peut se reformuler en une condition sur les matrices de Hankel.

Pour plus de détails, voir les références Shohat&Tamarkin, Akhiezer et Krein&Nudelman.

Unicité

• L'unicité de μ pour le problème des moments de Hausdorff résulte du théorème de Stone-Weierstrass.

Détails

Si deux mesures (positives) sur [a,b] ont mêmes moments (finis), leur différence μ est une mesure bornée de moments nuls, si bien que pour tout polynôme P, $\int P\mathrm d\mu=0$. Par densité des polynômes dans les fonctions continues sur [a,b] (pour la norme uniforme), il en résulte que pour toute fonction continue f continue sur [a,b], $\int f\mathrm d\mu=0$, autrement dit μ = 0.

• Le problème de l'unicité quand l'intervalle est non borné est une question plus délicate ; voir Condition de Carleman (en), Condition de Krein (en) et la référence Akhiezer.
• La réponse est négative dans le cas général. Voici un contre-exemple probabiliste donné par William Feller. On considère la fonction $f :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R^+$ définie par $f(x) = \frac{1}{x\, \sqrt{2 \pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\, (\ln x)^2}$ (densité de la loi log-normale de paramètres 0 et 1), dont tous les moments existent.

On démontre (par changement de variable) que pour tout entier naturel n, $\int_0^{+\infty} x^n f(x) \sin(2 \pi \ln x)\, \mathrm{d}x = 0$.

Pour tout $\alpha \in \R$, on définit $g_\alpha :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R$ par $g_\alpha(x) = f(x)\, \left[1 + \alpha \sin(2 \pi \ln x)\right]$.

Alors : quels que soient $\alpha \in \R$ et $n \in \mathbb{N}$, m_n(g_α) = m_n(f), bien que $g_\alpha \neq f$ dès que $\alpha \neq 0$.

Nota 

pour tout $\alpha \in \R$, $\int_0^{+\infty} g_\alpha(x)\, \mathrm{d}x = 1$ car m₀(g_α) = m₀(f). Or, si on prend $\alpha \in [-1,\, +1]$, g_α est à valeurs positives : dans ce cas, g_α est une densité de probabilité portée par $\R^\star_+\,$, distincte de f si $\alpha \neq 0$, dont tous les moments existent et sont les mêmes que ceux de f. Ceci prouve que la loi log-normale n'est pas déterminée par ses moments.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Moment problem » (voir la liste des auteurs)
• (en) James Alexander Shohat, et Jacob Tamarkin (en), The Problem of Moments, New York, AMS, 1943
• (en) Naum Akhiezer (en), The classical moment problem and some related questions in analysis, traduit du russe par N. Kemmer, New York, Hafner Publishing, 1965
• (en) M. G. Krein et A. A. Nudelman, The Markov moment problem and extremal problems. Ideas and problems of P. L. Chebyshev and A. A. Markov and their further development, traduit du russe par D. Louvish, Translations of Mathematical Monographs, vol. 50, Providence (RI), AMS, 1977