Metrique riemannienne

Métrique riemannienne

Les métriques riemanniennes sont les objets d'étude de la géométrie riemannienne. La première introduction a été donnée par Riemann en 1854. Cependant, son article sur le sujet a été publié après sa mort, en 1868. La même année, Helmholtz publie des résultats analogues.

Les métriques riemanniennes sont des collections différentiables de formes quadratiques définies positives :

• Sur un fibré vectoriel $E\rightarrow M$, une métrique riemannienne g = g_x est la donnée d'un produit scalaire g_x sur la fibre E_x qui dépende de manière lisse du point de base $x\in M$. Plus formellement, $x\mapsto g_x$ est une section en tout point définie positive du fibré vectoriel des formes bilinéaires symétriques $S^2E\rightarrow M$. On dit que la donnée (E,g) est un fibré riemannien.

Pour deux fibrés riemanniens (E,g) et (F,g'), un morphisme de fibrés riemanniens $f:(E,g)\rightarrow (F,g')$ est un morphisme de fibré $f:E\rightarrow F$ tel que, pour tout $x\in M$, l'application linéaire $f_x:E_x\rightarrow F_x$ est une isométrie linéaire, id est :

$\forall v,w\in E_x, g'_x(f_x(v),f_x(w))=g_x(v,w)$

• Si M est une variété différentielle (de dimension n), une métrique riemannienne sur M est simplement une métrique riemannienne g sur le fibré tangent $TM\rightarrow M$. La donnée (M,g) est une variété riemannienne.

Etant données deux variétés riemanniennes (M,g) et (N,g'), une isométrie $F:(M,g)\rightarrow (N,g')$ est une application différentiable $F:M\rightarrow N$ telle que l'application tangente $dF:(TM,g)\rightarrow (TN,g')$ est un morphisme de fibrés riemanniens. Cette derniere condition se reecrit :

F ^* g = g

Exemples

• Tout produit scalaire < , > sur Rⁿ induit sur tout fibré vectoriel trivial $M\times R^n\rightarrow M$ une métrique riemannienne :

g_x((x,v),(x,w)) = < x,w >

• Soit g une métrique riemannienne sur $E\rightarrow M$. Pour une fonction différentiable $\psi:P\rightarrow M$, il existe sur le fibré vectoriel tiré en arrière $\psi^*E\rightarrow P$ une unique métrique riemannienne ψ ^* g telle que le morphisme naturel $\psi^*E\rightarrow E$ soit un isomorphisme de fibrés riemanniens.

• Si g est une métrique riemannienne sur $E\rightarrow M$, alors, par restriction, g définit une métrique riemannienne sur tout sous-fibré vectoriel $F\subset E$.

Existence

Sur tout fibré vectoriel $\pi:E\rightarrow M$, il existe une métrique riemannienne.

Démonstrations

• Preuve via une partition de l'unité.

Pour tout ouvert U suffisamment petit de M, le fibré vectoriel $\pi^{-1}(U)\rightarrow U$ est trivialisable. Or, par ci-dessus, tout fibré vectoriel trivialisable admet une métrique riemannienne. Donc, il existe une métrique riemannienne g^U sur π ^{− 1}(U).

En utilisant la paracompacité de M, il existe un recouvrement (strictement) dénombrable $(U_n)_{n\in N}$ de M tel que, pour tout $n\in N$, il existe une métrique riemannienne gⁿ sur le fibré vectoriel $\pi^{-1}(U_n)\rightarrow U_n$. Soit $(\phi_n)_{n\in N}$ une partition de l'unité subordonnée à $(U_n)_{n\in N}$. L'application $x\mapsto \phi_n(x)g_n(x)$ est une section globale de $S^2\pi^{-1}(U_n)\rightarrow U_n$ nulle au voisinage de la frontière $\partial U_n$. Elle se prolonge par 0 en une section globale de $S^2E\rightarrow M$, abusivement notée $x\mapsto \phi_n(x)g_n(x)$.

On pose alors :

$g=\sum_{n\in N} \phi_ng_n:x\mapsto \sum_{n\in N}\phi_n(x)g_n(x)$

C'est une section de $S^2E\rightarrow M$, et elle bien définie positive en tout point : si $x\in M$ appartient à l'intérieur du support de φ_n, et pour tout vecteur $v\in E_x$,

$v\neq 0\Rightarrow g(v,v)\geq \phi_n(x)g^n_x(v,v)>0$

• Preuve via un plongement.

Il existe un fibré vectoriel $F\rightarrow M$ tel que $E\oplus F\rightarrow M$ soit trivialisable. On utilise à ce niveau la paracompacité de M. Il existe donc une métrique riemannienne sur $E\oplus F\rightarrow M$ qui se restreint en une métrique riemannienne sur $E\rightarrow M$.

Attention : bien que plus court en apparence, ce second argument dissimule la difficulté dans l'existence de F. Cette existence fait aussi appel à un argument de partition de l'unité (!!!).

Sur toute variété différentielle M, il existe une métrique riemannienne.

Voir aussi

• Variété riemannienne
• Connexion de Levi-Cevita
• Métrique pseudo-riemannienne
• Géométrie riemannienne

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