Methode du gradient biconjugue

Methode du gradient biconjugue

Méthode du gradient biconjugué

En mathématiques, plus spécifiquement en analyse numérique, la méthode du gradient biconjugué est un algorithme permettant de résoudre un système d'équations linéaires

A x= b.\,

Contrairement à la méthode du gradient conjugué, cet algorithme ne nécessite pas que la matrice A soit auto-adjointe, en revanche, la méthode requiert des multiplications par la matrice adjointe A * .

L'algorithme

  1. Choisir x0, y0, un préconditionneur régulier M (on utilise fréquemment M − 1 = 1) et c;
  2. r_0 \leftarrow b-A x_0, s_0 \leftarrow c-A^* y_0\,;
  3. d_0 \leftarrow M^{-1} r_0, f_0 \leftarrow M^{-*} s_0\,;
  4. for k=0, 1, \dots\, do
  5. \alpha_k \leftarrow {s^*_k M^{-1} r_k \over f_k^* A d_k}\,;
  6. x_{k+1} \leftarrow x_k+ \alpha_k d_k\, \left( y_{k+1} \leftarrow y_k + \overline{\alpha_k} f_k \right)\,;
  7. r_{k+1} \leftarrow r_k- \alpha_k A d_k \,, s_{k+1} \leftarrow s_k- \overline{\alpha_k} A^* f_k \, (rk = bAxk and sk = cA * yk are the residuums);
  8. \beta_k \leftarrow {s_{k+1}^* M^{-1} r_{k+1} \over s^*_k M^{-1} r_k}\,;
  9. d_{k+1} \leftarrow M^{-1} r_{k+1} + \beta_k d_k\,, f_{k+1} \leftarrow M^{-*} s_{k+1} + \overline{\beta_k} f_k\,.

Discussion

La méthode est numériquement instable, mais très importante du point de vue théorique: on définit les itération par x_k:=x_j+ P_k A^{-1}\left(b - A x_j \right) et y_k:=y_j+A^{-*}P_k^*\left(c-A^* y_j \right) (j < k) en utilisant les projections suivantes:

P_k:= \mathbf{u_k} \left(\mathbf{v_k}^* A \mathbf{u_k} \right)^{-1} \mathbf{v_k}^* A,

Avec \mathbf{u_k}=\left(u_0, u_1, \dots u_{k-1} \right) et \mathbf{v_k}=\left(v_0, v_1, \dots v_{k-1} \right). On peut irérer les projections elles-mêmes, comme

P_{k+1}= P_k+ \left( 1-P_k\right) u_k \otimes {v_k^* A\left(1-P_k \right) \over v_k^* A\left(1-P_k \right) u_k}.

Les nouvelles directions de descente d_k:= \left(1-P_k \right) u_k et f_k:= \left( A \left(1- P_k \right) A^{-1} \right)^* v_k sont alors orthogonales aux résidus: v_i^* r_k= f_i^* r_k=0 et s_k^* u_j = s_k^* d_j= 0, qui satisfont aux-même r_k= A \left( 1- P_k \right) A^{-1} r_j et s_k= \left( 1- P_k \right) ^* s_j(i,j < k).

La méthode du gradient biconjugué propose alors le choix suivant:

uk: = M − 1rk et vk: = M − * sk.

Ce choix particulier permet alors d'éviter une évaluation directe de Pk et A − 1, et donc augmented la vitesse d'execution de l'algorithme.

Propriétés

  • En dimensions finies xn = A − 1b, au plus tard quand Pn = 1: La méthode du gradient biconjugué rend la solution exacte après avoir parcouru tout l'espace et est donc une méthode directe.
  • La suite produite par l'algorithme est biorthogonale: f_i^* A d_j = 0 et s_i^* M^{-1} r_j=0 pour i \ne j.
  • SI pi' est un polynôme avec i+deg\left( p_{i'} \right) <k , alors v_i^* p_{i'}\left(A M^{-1} \right) r_k=0.
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