Antisymétrisation

Matrice antisymétrique

En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, une matrice antisymétrique est un type de matrice carrée.

Sommaire

Définition

Une matrice carrée A à coefficients dans un anneau quelconque est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposée ; c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation :

tA = -A

c’est-à-dire si elle est écrite avec des coefficients sous la forme A = (ai,j):

pour tout i et j, ai,j = - aj,i

Exemple

Par exemple, la matrice suivante est antisymétrique:

\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
-2 & 0 \end{pmatrix}

Le cas où les coefficients de la matrices sont à valeurs dans un corps de caractéristique 2 est très particulier. Dans ce cas, A = A et donc une matrice est antisymétrique si elle est symétrique. Dans tout ce qui suit, les coefficients de la matrices sont à valeurs dans un corps de caractéristique différente de 2.

Propriétés

  • Toutes les entrées de la diagonale principale d'une matrice antisymétrique ont un zéro: en effet il faut que chaque élément de la diagonale vérifie aussi ai,j = - aj,i et le seul nombre ayant cette caractéristique est 0 ; ainsi, la trace d'une matrice antisymétrique est nulle.
  • L'espace des matrices symétriques et celui des matrices antisymétriques sont supplémentaires dans l'espace des matrices carrées. En effet, toute matrice carrée se décompose de façon unique de la façon suivante :
 A = \frac{A+\,\!^tA}2+\frac{A-\,\!^tA}2.
  • Ces espaces sont même orthogonaux si on munit l'espace des matrices carrés du produit scalaire canonique dont une des expressions est justement :
 (A,B) \mapsto Tr(^tA.B)
  • Les matrices antisymétriques de type (n,n) forment un espace vectoriel de dimension (n2 - n)/2. La base canonique est la famille \left(A_{ij}\right)_{1\leq i < j \leq n} de matrices Aij qui comportent un à la ième ligne et jème colonne et moins un à la jème ligne et ième colonne.
  • Dans le cas réel :

Cet espace vectoriel est l'espace tangent au groupe orthogonal O(n). Dans ce sens, nous pouvons assimiler les matrices antisymétriques à des « rotations infinitésimales ».

Toute matrice antisymétrique réelle est diagonalisable sur le corps des complexes et ses valeurs propres sont imaginaires pures. En fait, si A est antisymétrique réelle, iA est matrice hermitienne.

En fait, les matrices antisymétriques de type (n, n) forment une algèbre de Lie utilisant le crochet de Lie

[A,B] = AB - BA\,

et c'est l'algèbre de Lie associée au groupe de Lie O(n).

Une matrice G est orthogonale et a un déterminant égal à 1, c'est-à-dire est un élément de la composante connexe du groupe orthogonal où se trouve la matrice unité, si et seulement si il existe une matrice antisymétrique A telle que:

G=\exp(A)=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!}.

Voir aussi

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