Anticommutativité

En mathématiques, l'anticommutativité est la propriété caractérisant les opérations pour lesquelles intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé. Par exemple, une opération binaire *~ est anticommutative si

\forall x,y\qquad ( x*y=-y*x ).

Cette propriété intervient en algèbre, en géométrie, en analyse et, par conséquent, en physique.

Sommaire

Définition

Étant donné un entier naturel n, une opération n-aire est dite anticommutative si intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé.

Plus formellement, une application {}^{*:A^n\to G} de l'ensemble de tous les n-uplets d'éléments d'un ensemble A dans un groupe G est dite anticommutative si pour toute permutation σ de l'ensemble {}^{\{1,2,\ldots,n\}}, on a :

\forall(x_1,x_2,\dots,x_n)\in A^n,\qquad ( x_1*x_2*\dots*x_n=\sgn(\sigma) x_{\sigma(1)}*x_{\sigma(2)}*\dots* x_{\sigma(n)} ),

sgn(σ) désigne la signature de σ.

Cette formule est à interpréter comme suit :

  • si deux n-uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation impaire alors leurs images sont symétriques l'une de l'autre dans le groupe G et (par conséquent)
  • si deux n-uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation paire alors ils ont même image.

La formule comporte donc un abus de notation puisqu'a priori, l'ensemble d'arrivée G est seulement un groupe, dans lequel « -1 » et la multiplication n'ont pas de sens précis. Dans le groupe G, noté ici additivement, ( − 1)g représente le symétrique (ou opposé) g d'un élément g.

Le cas n = 2 est particulièrement important. Une opération binaire {}^{*:A\times A\to G} est anticommutative si

\forall(x_1,x_2)\in A\times A,\qquad ( x_1*x_2=-x_2*x_1 ),

ce qui signifie que {}^{x_1*x_2} est l'élément symétrique de {}^{x_2*x_1} dans le groupe G.

Exemples

Propriété

Si le groupe G est tel que

\forall g\in G,\quad( g=-g~\Rightarrow~g=0 ),

c'est-à-dire si l'élément neutre est le seul élément qui soit égal à son symétrique alors :

  • pour toute opération binaire *~ anticommutative et tout élément x1 on a :
x_1*x_1=0~ ;
  • plus généralement, pour toute opération n-aire *~ anticommutative, l'image de tout n-uplet {}^{(x_1,\ldots,x_n)} comportant une répétition (i.e. tel que xi = xj pour au moins deux indices i,j distincts) est égale à l'élément neutre :
[\exists i\neq j, x_i=x_j] \Rightarrow x_1*x_2*\dots*x_n=0.

Cette propriété est plus connue dans le cas particulier d'une application n-linéaire antisymétrique {}^{f:E^n\to F} (E et F étant des espaces vectoriels sur un même corps K) : si la caractéristique de K est différente de 2 alors le seul vecteur de F égal à son opposé est le vecteur nul, si bien que f est alternée.

Références

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

(en) A. T. Gainov, « Anti-commutative algebra », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2001 (ISBN 978-155608010-4) [lire en ligne] 


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