Antichaîne

En mathématiques, plus précisément en théorie des ordres, une antichaîne d'un ensemble E muni d'une relation d'ordre (notée ici ≤ ) est une partie A de E telle que

\forall x \in A, \ \forall y \in A,\  x \leq y \Rightarrow x=y~.

Autrement dit, dans un ensemble ordonné, une antichaîne est une partie dont les éléments sont deux à deux incomparables.

La largeur d'un ordre est le maximum des cardinaux de ses antichaînes (par exemple : un ordre total est un ordre de largeur 1).

Sommaire

Antichaînes de N

Considérons l'ensemble N des entiers naturels, ordonné par la divisibilité.

Pour tout entier naturel n, la largeur de {1,2,...,2n} (muni de l'ordre induit) est n. De plus, dans cet ensemble ordonné, un élément de la forme 2kc avec c impair appartient à une antichaîne maximale (i.e. de cardinal n) si et seulement si 2n  < 3k + 1 c .

Voir aussi

Article connexe

Famille de Sperner

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Antichain », MathWorld


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