Antichaine

Antichaîne

Une antichaîne, A est une partie d'un ensemble, E, muni d'une relation d'ordre partiel (ici \leq ) telle que

\forall x \in A, \ \forall y \in A,\  x \leq y \rightarrow x=y.

Plus intuitivement, on peut voir une antichaine comme une partie d'un ensemble, muni d'une relation d'ordre, dont les éléments sont deux à deux incomparables.

Antichaînes de N

Il s'agit des antichaînes de N pour la divisibilité qui est évidemment une relation d'ordre partiel sur N. Soit E une partie non vide de N, une antichaîne de N contenue dans E s'appelle également une antichaîne de E

Soit n un entier naturel non nul fixé et E2n = {1,2,...2n}. On démontre que le maximum des cardM lorsque M parcourt l'ensemble des antichaînes de E2n est n . Nous

avons également le théorème suivant : Soit c un élément de E2n écrit sous la forme c=2kc' , c' impair. Pour qu'il existe une antichaîne de E2n de cardinal n contenant c il faut et il suffit que 2n  < 3k + 1 c' .

Références

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