Anti-co-indicateur

Anticoïndicateur

En mathématiques, un anticoïndicateur est un entier positif n qui ne peut pas être exprimé comme la différence entre un entier positif m et le nombre des entiers inférieurs à lui et premier avec lui. Exprimé algébriquement, m - \varphi(m) = n\, , où m est l'inconnue, et \varphi\, représente la fonction indicatrice d'Euler, ne possède pas de solution.

Il a été conjecturé que tous les anticoïndicateurs sont pairs. Ceci découle d'une forme modifiée de la conjecture de Goldbach : si le nombre pair n peut être représenté comme une somme de deux nombres premiers distincts p et q, alors 
 pq - \varphi(pq) = pq - (p-1)(q-1) = p+q-1 = n-1.
\, Il a été espéré que chaque nombre pair plus grand que 6 soit une somme de nombres premiers distincts, alors aucun nombre impair plus grand que 5 n'est probablement un anticoïndicateur. Les nombres pairs restants sont couverts par les observations suivantes : 1=2-\varphi(2), 3 = 9 - \varphi(9)\, et 5 = 25 - \varphi(25)\,.

Les premiers petits anticoïndicateurs sont (suite id:A005278 sur l'OEIS) :

10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520

Erdős et Sierpinski se sont demandés s'il existe une infinité d'anticoïndicateurs. Ceci fut finalement répondu par l'affirmative par Browkin et Schinzel (1995), qui ont montré que chaque membre de la famille infinie  2^k \cdot 509203 est un exemple. Comme pour d'autres familles infinies, ou de même forme brute, qui ont été données par Flammenkamp et Luca. Néanmoins, on ne sait toujours pas si l'ensemble des anticoïndicateurs possède une densité de Schnirelmann positive basse.

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