Marie-Sophie Germain

Sophie Germain

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Sophie Germain

Marie-Sophie Germain (Paris, 1^er avril 1776 – 27 juin 1831) est une des premières mathématiciennes françaises autodidactes. Elle est connue pour le théorème d'arithmétique qui porte son nom, pour ses échanges avec le mathématicien Carl Friedrich Gauss et pour ses travaux sur l'élasticité des corps.

Biographie

Deuxième fille d'Ambroise-François Germain, Sophie Germain se prend de passion pour les mathématiques à l'âge de treize ans, après avoir lu à la bibliothèque un chapitre sur la vie d'Archimède. Il semble qu'elle ait été particulièrement impressionnée par les circonstances de sa mort. Elle apprend alors seule la théorie des nombres et du calcul, étudiant les travaux d'Euler et de Newton. Son père tente tout d'abord de la dissuader de se tourner vers une profession « masculine » en confisquant les chandelles qu'elle utilise pour étudier la nuit^{[réf. nécessaire]}. Devant sa détermination, il accepte finalement de la soutenir moralement et financièrement.

Elle se procure les cours de l'École polytechnique, réservée aux hommes, en empruntant l'identité d'un ancien élève, Antoine Auguste Le Blanc. Elle envoie ses remarques à Joseph-Louis Lagrange qui finit par découvrir l'imposture en la convoquant du fait de ses brillantes réponses. Il devient l'ami et le mentor de la jeune fille.

Elle travaille plusieurs années sur le théorème de Fermat et démontre le théorème de Sophie Germain, ce qui l'amène à prendre contact, en 1804, toujours sous son nom d'emprunt Antoine Auguste Le Blanc, avec Carl Friedrich Gauss suite à la lecture de son exposé Disquisitiones arithmeticae (1801). Ses échanges portent sur le grand théorème de Fermat et la loi de réciprocité quadratique. En 1806, Napoléon envahit la Prusse et Brunswick, la ville natale de Gauss. Sophie Germain, craignant alors pour la vie de son ami, demande au général Pernety, qu'elle connaît personnellement, de veiller à la sécurité de Gauss. Le général explique alors à Gauss que Germain lui a demandé de le protéger. De fait, elle est obligée d'avouer sa véritable identité, ce à quoi Gauss répondit :

Comment vous décrire mon admiration et mon étonnement de voir mon estimé correspondant Monsieur Le Blanc se transformer en ce fameux personnage qui me donne un brillant exemple de ce que j'aurais du mal à croire. Le goût des sciences abstraites en général et plus particulièrement des mystères des nombres est extrêmement rare. Les charmes de cette sublime science ne se révèlent qu'à ceux qui ont le courage de l'explorer en profondeur. Mais quand une personne du sexe qui, du fait de nos coutumes et préjugés, doit surmonter plus de difficultés que les hommes pour se familiariser avec ces épineuses questions, réussit néanmoins à dépasser ces obstacles et à appréhender leur partie la plus obscure, alors elle doit sans aucun doute posséder un noble courage, des talents extraordinaires et un esprit supérieur. De fait, rien de plus flatteur et moins équivoque, que la prédilection avec laquelle vous avez honoré cette science, qui a enrichi ma vie de tant de joie, ne pourrait me montrer que ses attraits ne sont pas chimériques^[1].

Lettre de Gauss à Sophie Germain du 30 avril 1807^[2]

[La transcription qui suit respecte la copie exacte utilisée pour l'édition des Œuvres philosophiques : orthographe, ponctuation, accents, sont donc conformes à ceux de Gauss.]

Votre lettre du 20 février, mais qui ne m'est parvenue que le 12 mars, a été pour moi la source d'autant de plaisir que de surprise. Combien l'acquisition d'une amitié aussi flateuse et précieuse est-elle douce à mon cœur ! L'intérêt vif, que vous avez pris à mon sort pendant cette guerre funeste, mérite la plus sincère reconnaissance. Assurément, votre lettre au général Pernety m'eût été fort utile, si j'avais été dans le cas d'avoir recours à une protection spécielle de la part du gouvernement françois. Heureusement les evenements et les suites de la guerre ne m'ont pas touché de trop près jusqu'ici, bien que je sois persuadé qu'elles auront une grande influence sur le plan futur de ma vie. Mais comment vous décrire mon admiration et mon étonnement, en voïant se metamorphoser mon correspondant estimé M. Leblanc en cette illustre personnage, qui donne un exemple aussi brillant de ce que j'aurois peine de croire. Le goût pour les sciences abstraites en général et surtoût pour les mysteres des nombres est fort rare : on ne s'en étonne pas ; les charmes enchanteurs de cette sublime science ne se decelent dans toute leur beauté qu'à ceux qui ont le courage de l'approfondir. Mais lorsqu'une personne de ce sexe, qui, par nos mœurs et par nos préjugés, doit rencontrer infiniment plus d'obstacles et de difficultés, que les hommes, à se familiariser avec ces recherches epineuses, sait neansmoins franchir ces entraves et penétrer ce qu'elles ont de plus caché, il faut sans doute, qu'elle ait le plus noble courage, des talens tout à fait extraordinaires, le génie supérieur. En effet, rien ne pourroit me prouver d'une manière plus flatteuse et moins équivoque, que les attraits de cette science, qui ont embelli ma vie de tant de jouissances, ne sont pas chimériques, que la predilection, dont vous l'avez honorée.

Le notes savantes, dont toutes vos lettres sont si richement remplies, m'ont donné mille plaisirs. Je les ai étudiées avec attention, et j'admire la facilité avec laquelle vous avez pénétré toutes les branches de l'Arithmetique, et la sagacité avec laquelle vous les avez su généraliser et perfectionner. Je vous prie d'envisager comme une preuve de cette attention, si j'ose ajouter une remarque à un endroit de votre dernière lettre. Il me semble, que la proposition inverse, savoir « si la somme des puissances nemes de deux nombres quelconques est de la forme hh + nff, la somme de ces nombres eux-mêmes sera de la meme forme » est énoncée un peu trop generalement. Voici un exemple où cette règle est en défaut :

15¹¹ + 8¹¹ = 8649755859375 + 8589934592 = 8658345793967 = 1595826² + 11.745391².

Néanmoins 15 + 8 = 23 ne peut se reduire sous la forme xx + 11yy.

Il en est de même de la proposition : si l'un des facteurs de la formule yy + n zz (n étant un nombre premier) est de la forme (1,0,n), l'autre appartient nécessairement à la même forme. Votre démonstration ne prouve que ce, qu'aucune autre forme indefinie, que telle qui est équivalente à (1,0,n), multipliée par la forme (1,0,n), ne peut donner le produit (1,0,n), mais cette démonstration ne s'étend pas sur les nombres definis. Soit, pour le déterminante -n, C une classe de formes, quelconque mais ni équivalente à la principale, ni à aucune classe anceps, soit D la classe resultante de la duplication de c (qui sera différente de la principale), enfin soit D' la classe opposée à D. Il s'ensuit, que de la composition de C + C + D' resulte la classe principale. Ainsi si les deux nombres f, g peuvent être représentés par une forme de la classe c, et le nombre h par une forme de la classe D', le produit fgxh peut se réduire à (1,0,n) ; mais il est facile que fg ne se reduit pas seulement à D ou D' mais aussi à (1,0,n). Nous avons donc ici le cas, qu'un facteur fg, et le produit fg.h sont de la forme (1,0,n), sans que pourtant l'autre facteur y appartienne nécessairement. Au reste on voit facilement que le premier facteur doit être composé, sans cela la proposition serait juste. Dans l'exemple ci-dessus le facteur (15¹¹ + 8¹¹)/23 enveloppe le diviseur 67.

Depuis cinq ans des travaux astronomiques - auquels pour le dire en passant je dois surtout l'heureuse situation dont j'ai joui pendant la vie de notre duc, le victime malheureux de son attachement fidel à la maison de Prusse - m'ont empêché de me de delivrer autant qu'auparavant à ma predilection pour l'arithmetique et les autres branches de l'analyse. Je n'ai pas pourtant négligé celle-ci tout à fait. Tout au contraire j'ai rassemblé peu à peu un grand nombre de recherches, qui un jour formeront un autre volume - si non deux - certainement pas moins intéressant que le premier. Même dans le dernier hiver j'ai reussi à y ajouter une branche entièrement nouvelle. C'est la théorie des résidus cubiques et des résidus biquarrés, portée à un degré de perfection, égal à celui, qu'a atteint la théorie des résidus quarrés. Je mets cette théorie, qui repand un nouveau jour sur les résidus quarrés parmi les recherches les plus curieuses dont je me sois jamais occupé. Je ne saurais vous en donner une idée sans ecrire un Memoire expres. Voici pourtant quelque theoreme special, qui pourra servir d'un petit echantillon.

I. Soit p un nombre premier de la forme 3n + 1. Je dis, que 2. (c.a.d. +2 et -2) est résidu cubique de p, si p se reduit à la forme xx + 27.yy ; que 2 est non-résidu cubique de p, si 4p se reduit à cette forme. P.E.7.13.19.31.37.43.61.67.73.79.97. Vous ne trouverez que 31 = 4 + 27. 43 = 16 + 27, et 2 = 4³ (mod. 31) 2 = (-9³) (mod. 43).

II. Soit p un nombre premier de la forme 8n + 1. Je dis que +2 et -2 seront residus ou non-résidus biquarrés de p, suivant ce que p est ou n'est pas de la forme xx + 64 yy. Par exemple parmi les nombres 17.41.73.89.97.113.137 vous ne trouvez que 73 = 9 + 64. 89 = 25 + 64. 113 = 49 + 64, et 25⁴ = 2 (mod. 73), 5⁴ = 2 (mod. 89), 20⁴ = 2 (mod. 113).

La demonstration de ces theoremes et de ceux qui sont plus generaux sont intimement liés à des recherches delicates. - Voici une autre proposition relative aux residus quarrés, dont la demonstration est moins cachée : je ne l'ajoute pas, pour ne pas vous derober le plaisir de la developper vous-même, si vous la trouverez digne d'occuper quelques moments de votre loisir.

Soit p un nombre premier. Soient les p - 1 nombres inférieurs à p partagés en deux classes :

A..... 1, 2, 3, 4....½(p - 1)

B..... ½(p + 1), ½(p + 3), ½(p + 5), ... p - 1

Soit a un nombre quelconque non divisible par p. Multipliés tous les nombres A par a ; prenés-en les moindres residus selon le module p, soient, entre ces residus, α appartenants à A, et ϐ appartenent à B, de sorte que α + ϐ = ½(p - 1). Je dis que a è residu quarré de p lorsque ϐ è pair, non residu lorsque ϐ è impair.

On peut tirer de cette proposition plusieurs consequences remarquables ; entre autres, elle donne le moien d'etendre l'induction, par laquelle on rassemble des cas speciels du theoreme fondamental aussi loin qu'on veut, ce qui ne pourrait se faire par les methodes exposés art. 106-124.

J'ai donné dans mon ouvrage deux demonstrations rigoureuses de ce fameux theoreme, et j'en possede encor trois autres toutes entierement differentes entre elles ; deux d'entre elles même peuvent être conduites de deux differentes manieres chaqu'une ; ainsi je pourrois soutenir que je peus le demantrer de sept manieres differentes. Les autres demonstrations que je prefererois pour l'elegance aux deux données dans mon ouvrage, seront publiées aussitôt que j'y trouverai l'occasion. A propos, dans la première demonstration qui se trouve dans la IV^e section il s'est glissé une faute legere que je n'ai aperçue, qu'apres que je ne pouvois plus l'indiquer. Il faut donc faire la correction suivante : p. 146 (cas.(4))1.21 lisés comme il suit « Facile vero perspicitur, exista aequatione deduci poste haec a’pRh..... (α), ± a h R a’.... (ϐ), ± a h R p..... (γ). Ex. (α) sequitur, perinde ut in (e), h vel utruiusque a’, p vel neutrius residuum esse. Sed casus prior ideo est impossibilis, quod ex h R a’ et (ϐ) sequeretur a R a’ contra hypoth. Quamobrem necessario est h N p adeoque, per (γ) a N p. Q.E.D. »

Au reste à la page 144 il se trouve une faute d'impression non indiquée, savoir art. 139 ligne 3 au lieu de ± aNp il faut lire ± aRp.

J'aurois repondu plus tôt a votre lettre, mais la découverte d'une nouvelle planète par M. Olbers m'a un peu distrait. Par le premier essai que j'ai fait sur son orbite, je trouve son mouvement considerablement plus vite que celui de Ceres, Pallas et Junon, savoir 978’’ par jour. L'inclinaison de l'orbite 7°6’. L'excentricité 0,1. Cette planete a beaucoup plus de clarté que Ceres, Pallas et Junon et j'espere la trouver parmi les observations de l'histoire celeste, peut être même parmi celles de Humstead. Je viens d'achever un ouvrage étendu sur les methodes, qui me sont propres, à determiner les orbites des planètes. Mais quoique je l'aie ecrit en allemand, je trouve beaucoup de difficulté d'y engager un libraire. La guerre a suspendu tout commerce, plusieurs de nos plus grands libraires l'ont refusé. Je suis à present à traiter un autre qui se montre un peu plus courageux. S'il trouvera son conte à cette entreprise, peut-être il sera encouragé par la à risquer la publication d'un second volume de mes disquisitiones.

Continuez, Mademoiselle, de me favoriser de votre amitié et de votre correspondance, qui font mon orgueil, et soïes persuadée, que je suis et serai toujours avec la plus haute estime,

Votre plus sincere admirateur,

Ch. Fr. Gauss.

Bronsvic, ce 30 Avril 1807, jour de ma naissance.

Gauss est nommé professeur d'astronomie à l'université de Göttingen en 1808. Son intérêt se porte alors vers les mathématiques appliquées : il arrête sa correspondance.

Sophie Germain se présente en 1811 au concours de l'Académie des sciences. Il s'agit d'un concours proposé suite aux expériences du physicien allemand Ernst Chladni et qui consiste à donner la théorie mathématique des surfaces élastiques et de la comparer à l'expérience. Les connaissances mathématiques nécessaires pour aborder convenablement le problème ne seront développées que durant la seconde moitié du XIX^e siècle. Après avoir échoué deux fois, elle réussit finalement en 1816. Ses travaux sur l'élasticité des corps la conduisent à s'opposer à Siméon Denis Poisson, qui défend une interprétation moléculaire des vibrations d'une membrane. Elle exprime son regret de ne pas disposer d'une copie du mémoire de Poisson. Le mathématicien Joseph Fourier devient alors son ami. Grâce à l'appui de ce dernier, elle devient la première femme autorisée à assister aux séances de l'Institut — excepté les femmes des membres.

Œuvre mathématique

Une de ses contributions majeures à la théorie des nombres est la preuve de la propriété mathématique suivante : si x, y, et z sont des entiers relatifs, et que x⁵ + y⁵ = z⁵, alors soit x, soit y, soit z est divisible par 5. Cette preuve, qu'elle décrivit pour la première fois dans une lettre à Gauss est relativement importante car elle permet de réduire le nombre de solutions du théorème de Fermat.

Ses contributions principales aux mathématiques portent sur la théorie des nombres et sur les déformations élastiques. Elle est à l'origine des nombres premiers de Sophie Germain. On appelle ainsi un nombre premier n tel que 2n + 1 le soit aussi. Les nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à 200, sont :

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191

Sur la suggestion de Gauss, l'université de Göttingen lui décerne en 1830 un titre honorifique, mais elle meurt d'un cancer du sein avant de pouvoir le recevoir, le 27 juin 1831.

Dans sa biographie^[3], Amy Dahan Dalmadico explique l'insuffisance de certains travaux de Sophie Germain par une mise à l'écart de la vie scientifique. Au début du XIX^e siècle, les femmes étaient jugées incompétentes pour comprendre des travaux scientifiques ; elles ne pouvaient traditionnellement avoir accès à la connaissance des progrès scientifiques qu'au cours de discussions mondaines ou à la lecture des livres de vulgarisation qui leur étaient spécifiquement destinés. Sophie Germain se distingue avant tout par son refus de se soumettre aux mœurs de son époque.

Œuvre philosophique

• Œuvres philosophiques de Sophie Germain, suivies de pensées et de lettres inédites et précédées d'une étude sur sa vie et ses œuvres par H^te Stupuy, collection Philosophie moderne, Librairie de Firmin-Didot et C^ie, 1879, rééd. 1896. L'œuvre philosophique est constituée d'un essai intitulé Considérations générales sur l'état des sciences et des lettres

Postérité

• Proof (la Preuve), la pièce de théâtre de David Auburn qui a remporté le prix Pulitzer en 2001 dans la catégorie théâtre, contient de nombreuses références à Sophie Germain^{[réf. nécessaire]}.
• Le lycée Sophie-Germain, dans le IV^e arrondissement de Paris, est historiquement le lycée Charlemagne pour jeunes filles. Il comporte une statue de Sophie Germain^[4].
• Le collège Sophie-Germain, dans le quartier de Cronenbourg à Strasbourg.
• Les nombres premiers de Sophie Germain sont nommés en hommage de ses travaux en arithmétique.
• La rue Sophie Germain, dans le 14e arrondissement de Paris.

Références

1. ↑ Any Dahan Dalmedico, Sophie Germain, Les mathématiciens, p. 72-85.
2. ↑ Source : Œuvres philosophiques, p. 274-282.
3. ↑ Amy Dahan Dalmedico, Sophie Germain, Les mathématiciens, p. 72-85.
4. ↑ Any Dahan Dalmedico, Sophie Germain, Les mathématiciens, p. 72-85.

Liens internes

• Théorème de Sophie Germain
• Nombre premier de Sophie Germain

Liens externes

• (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, Marie-Sophie Germain, MacTutor History of Mathematics archive.
• (fr) Biographie
• (en) Une réévaluation récente de ses travaux sur le théorème de Fermat

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