Annulateur D'une Partie D'un Module

Annulateur d'une partie d'un module

Soit M un module sur un anneau A et S une partie de M. On appelle annulateur de S et on note Ann(S) l'ensemble :

Ann(S) = \{ \alpha \in A : \forall x \in S, \alpha \cdot x = 0\}

Si M est un module à gauche, alors Ann(S) est un idéal à gauche de A, et si M est un module à droite, alors Ann(S) est un idéal à droite de A. On peut cependant remarquer que quel que soit le type de module considéré, Ann(M) est un idéal bilatère.

En effet, si M est un module à gauche, alors Ann(M) est un idéal à gauche. Et si \alpha \in Ann(M), et \beta \in A, alors \forall x \in M, (\alpha\beta) \cdot x = \alpha \cdot (\beta \cdot x) =  0 (car \alpha \in Ann(M) et que \beta \cdot x \in M) donc \alpha\beta \in Ann(M), ce qui prouve que Ann(M) est également un idéal à droite de A.

(On pouvait également remarquer que Ann(M) n'est autre que le noyau du morphisme d'anneau \psi: A\to End(M))

Un élément x de M est dit simple, si \forall \alpha \in A, \alpha \cdot x = 0 \Rightarrow \alpha = 0
, autrement dit si Ann({x}) = {0}.

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Annulateur d%27une partie d%27un module ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Annulateur D'une Partie D'un Module de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Annulateur d'une partie d'un module — Soit M un module sur un anneau A et S une partie de M. On appelle annulateur de S et on note Ann(S) l ensemble : Si M est un module à gauche, alors Ann(S) est un idéal à gauche de A, et si M est un module à droite, alors Ann(S) est un idéal… …   Wikipédia en Français

  • Module Sur Un Anneau — Un module sur un anneau unitaire est une structure algébrique qui généralise celle d espace vectoriel et celle d idéal d un anneau. Dans un espace vectoriel l ensemble des scalaires forme un corps tandis que dans un module, ceux ci sont de… …   Wikipédia en Français

  • Module sur un anneau — En mathématiques, au sein des structures algébriques, « un module est à un anneau ce qu un espace vectoriel est à un corps »[1] : pour un espace vectoriel, l ensemble des scalaires forme un corps tandis que pour un module, cet… …   Wikipédia en Français

  • Module libre — En algèbre, un module libre est un module M qui possède une base B, c est à dire un sous ensemble de M tel que tout élément de M s écrive de façon unique comme combinaison linéaire (finie) d éléments de B. Sommaire 1 Définitions 2 Exemples et… …   Wikipédia en Français

  • Module artinien — En théorie des anneaux, un module artinien (du nom d Emil Artin) est un module vérifiant la condition des chaines décroissantes. C est une sorte de généralisation des espaces vectoriels de dimension finie. Sommaire 1 Définition 2 Exemples 3… …   Wikipédia en Français

  • Module semi-simple — Camille Jordan, auteur du théorème clé de la théorie En mathématiques et plus précisément en algèbre non commutative, un module sur un anneau est dit semi simple ou complètement réductible s il est somme directe de sous modules simples ou, ce qui …   Wikipédia en Français

  • Représentation d'algèbre de Lie — En mathématiques, une représentation d une algèbre de Lie est une façon d écrire cette algèbre comme une algèbre de matrices, ou plus généralement d endomorphismes d un espace vectoriel, avec le crochet de Lie donné par le commutateur. Sommaire 1 …   Wikipédia en Français

  • Sous-module — Module sur un anneau Un module sur un anneau unitaire est une structure algébrique qui généralise celle d espace vectoriel et celle d idéal d un anneau. Dans un espace vectoriel l ensemble des scalaires forme un corps tandis que dans un module,… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”