Anneau principal

Les anneaux principaux forment un type d'anneaux commutatifs important dans la théorie mathématique de la divisibilité. Ce sont des anneaux intègres auxquels on peut étendre deux théorèmes qui, au sens strict, concernent l'anneau des entiers relatifs : le théorème de Bachet-Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique.

Sommaire

Définitions

Un anneau A est dit commutatif lorsque, pour tous éléments a et b de A, a.b = b.a. Il est dit intègre lorsqu'il est commutatif, a au moins deux éléments et vérifie la condition suivante : pour tous éléments a et b de A tels que a.b soit égal à zéro, un au moins des éléments a et b est nul. Cette propriété a pour conséquence que tout élément non nul de A est simplifiable, c'est-à-dire que si a est un élément non nul de A, si b et c sont deux éléments de A tels que a.b = a.c (resp. b.a = c.a), alors b est égal à c. La simplification utilisée pour les calculs sur les nombres entiers, rationnels, réels ou complexe est donc toujours valable. Dans toute la suite de l'article, A désigne un anneau intègre.

Un idéal J est un sous-groupe de A stable par multiplication par n'importe quel élément a de A, ainsi si j est élément de J, a.j l'est aussi, ou encore a.J est inclus dans J. L'idéal J est dit principal s'il est composé des multiples d'un élément de l'anneau.

  • Un idéal J de l'anneau A est dit principal si et seulement s'il existe un élément a de A tel que J est égal à a.A.
  • Un anneau intègre est dit principal si et seulement si tous ses idéaux sont principaux[1].

Exemples et contre exemples

Corps commutatifs

Article détaillé : Corps commutatif.

Les corps commutatifs sont des anneaux principaux. En effet, les deux seuls idéaux sont les idéaux triviaux engendrés par les éléments neutres de l'addition, qui correspond à l'idéal réduit à un élément, ainsi que celle de la multiplication, qui correspond à l'anneau entier. En revanche, l'étude d'une telle structure n'utilise pas cette propriété, car les seuls idéaux sont triviaux.

Pour les anneaux finis, les seuls anneaux intègres sont les corps. En effet, si l'anneau A est fini et si a est un élément non nul de A, alors l'application de A dans A qui à x associe a.x est injective. Une application injective d'un ensemble de cardinal fini dans lui-même est surjective, il existe donc un élément b tel que a.b = 1. Comme l'anneau est commutatif, a.b = b.a = 1, ce qui montre que a est inversible et donc que A est un corps.

Anneaux euclidiens

Article détaillé : Anneau euclidien.

Un anneau euclidien est un anneau disposant d'une division euclidienne. Un tel anneau est toujours principal (cf l'article détaillé). Des exemples de cette nature sont donnés par Z, l'ensemble des entiers relatifs ou encore l'ensemble des polynômes à coefficients dans un corps, par exemple celui des rationnels, réels ou complexes.

Tous les anneaux principaux ne sont pas euclidiens :

  • Soit ω le nombre complexe défini par ω = 1/2 (1 + i√19), où i désigne l'unité imaginaire, le plus petit anneau unitaire Z[ω] du corps des nombres complexes contenant ω est principal mais n'est pas euclidien.[2]

Certains anneaux d'entiers de corps de nombres

Article détaillé : Entier quadratique.

Un corps de nombres K est un sous-corps de C, l'ensemble des complexes, de dimension finie en tant qu'espace vectoriel sur Q l'ensemble des rationnels. Sa fermeture intégrale est l'ensemble des éléments de K admettant un polynôme minimal à coefficients dans Z, l'anneau des entiers relatifs. Un tel ensemble forme un anneau.

Si le corps est quadratique, c'est-à-dire si tout élément s'exprime comme la combinaison linéaire sur Q de 1 et d'une racine carré d'un nombre rationnel sans facteur carré, l'anneau associé peut être principal. C'est le cas par exemple pour les entiers de Gauss, d'Eisenstein ou de Dirichlet.

Les anneaux principaux de cette nature sont relativement rares. Ceux qui ne sont pas inclus dans R, l'ensemble des réels, sont tous connus. Ce résultat fait l'objet d'un théorème dit de Stark-Heegner. La question de savoir s'il existe une infinité de corps quadratiques réels dont l'anneau des entiers soit principal est encore ouverte (c'est-à-dire que la réponse n'est pas connue).

En théorie des nombres, un autre type d'anneau principal est l'anneau à valuation discrète. Ce type d'anneau est un cas particulier d'anneau local, c'est-à-dire d'anneau n'ayant qu'un unique idéal premier. Si un anneau d'entiers algébriques est de Dedekind alors l' anneau localisé d'un idéal premier est local et principal.

Exemple issu de l'analyse

Les anneaux principaux ne se trouvent pas uniquement en algèbre, l'exemple suivant[3] est utilisé en analyse complexe :

  • Soit X un espace compact de C (l'ensemble des complexes) et A l'anneau des fonctions holomorphes de X dans C, (c'est-à-dire qui sont holomorphes sur un voisinage ouvert de X), l'anneau A est principal.

Contre-exemples

Les anneaux commutatifs unitaires intègres non principaux sont nombreux.

Une première famille de contre-exemples est fournie par les anneaux de polynômes. Si A n'est pas un corps A[X] n'est pas un anneau principal (cf l'article Anneau euclidien). En effet, si a est un élément non inversible de A, l'idéal des polynômes ayant pour constante un multiple de a n'est pas principal. L'anneau des polynômes A[X, Y] n'est jamais principal, même si A est un corps. Il suffit pour s'en rendre compte de considérer le plus petit idéal contenant les polynômes X et Y, un tel idéal n'est pas principal.

Les entiers algébriques fournissent des anneaux non principaux. L'anneau Z[i√5] est un contre exemple étudié dans l'article Entier quadratique.

Propriétés

Arithmétique

L'arithmétique élémentaire sur l'anneau des entiers relatifs se fonde sur quelques théorèmes clés. A l'exception de la division euclidienne qui n'est pas définie dans le cas général d'un anneau principal, ces grands théorèmes s'appliquent encore dans ce contexte. Ils permettent de généraliser les raisonnements arithmétiques à tous les anneaux principaux.

Le théorème de Bachet-Bézout est encore vérifié :

  • Si a et b sont deux éléments de A n'ayant pas d'autres diviseurs communs que les éléments du groupe des unités de l'anneau, alors il existe u et v éléments de A tels que a.u + b.v = 1.

Cette propriété résulte du fait que l'idéal engendré par a et b est principal, et tout générateur de cet idéal est diviseur commun à a et b, donc est inversible et engendre l'anneau tout entier. En particulier, l'élément 1 appartient à cet idéal, ce qui entraîne la relation.

Une fois établies les définitions de pgcd et ppcm, l'identité de Bézout prend une forme un peu différente : l'équation diophantienne ax+by = c admet des solutions si et seulement si c est un multiple du pgcd de a et de b.

Le lemme d'Euclide aussi est vérifié :

  • Soit a, b et c trois éléments de A tel que a divise b.c et tel qu'il n'existe pas d'autres diviseurs commun à a et à b que les éléments du groupe des unités. Alors a est un diviseur de c.

En effet, l'identité de Bézout assure l'existence de deux éléments de A, u et v tel que a.u + b.v = 1. La multiplication par c des deux membres de cette égalité permet d'écrire (i) a.u.c + b.c.v = c. De plus, a est un diviseur de b.c, ce qui se traduit par l'existence d'un élément d de A tel que: (ii) b.c = a.d. Les égalités (i) et (ii) démontre l'égalité suivante: a.( u.c + v.d) = c. Ceci montre que a divise c et le lemme d'Euclide est bien vérifié.

Enfin, le théorème fondamental de l'arithmétique est vérifié :

  • Un anneau principal est factoriel, c'est-à-dire que tout élément de l'anneau se décompose de manière unique (aux facteurs inversibles près) en un produit de facteurs irréductibles.

Une unité désigne un élément qui possède un inverse dans l'anneau. Un facteur irréductible de l'anneau est un élément p tel que chacune de ses décompositions en produit de deux facteurs contienne au moins une unité. Ainsi dans Z, -2 est irréductible car toute décomposition en un produit de deux facteurs contient nécessairement 1 ou -1 comme facteur. La décomposition est unique à un facteur inversible près. On remarque en effet qu'il existe plusieurs décompositions, par exemple de 6, 6 = 2 x 3 = (-2) x (-3). En revanche, ces deux décompositions sont les mêmes, à un facteur inversible près. Une démonstration est présentée dans l'article Anneau factoriel.

Idéal

  • Un élément a est premier si et seulement si A/a.A est un corps.

Soit b un élément dont la classe dans l’anneau quotient est non nulle, alors b n'est pas élément de a.A. Comme a est premier, il n'existe pas d'autres diviseurs communs que les éléments du groupe des unités. L'identité de Bézout, par passage aux classes montre que b est inversible. L'idéal a.A est dit maximal, c'est-à-dire que les seuls idéaux contenant a.A sont lui-même et A tout entier.

Réciproquement si A/a.A est un corps, soit b un diviseur de a qui ne soit pas un élément inversible, alors il existe un élément c de l'anneau tel que b.c = a et la classe de b est un diviseur de zéro. Le seul diviseur de zéro d'un corps est zéro. Ceci montre que b est dans l'idéal a.A et b est un multiple de a. L'élément b est à la fois un diviseur et un multiple de a, ceci montre que c est inversible. Ainsi, tout diviseur de a non inversible est égal à a, à un facteur inversible près, ce qui démontre que a est premier.

On remarque que si a est premier l'idéal est aussi premier, on en déduit la proposition :

  • Les idéaux premiers de A sont les idéaux maximaux.

Propriétés noethériennes

Article détaillé : anneau noethérien.

Un anneau principal est noethérien, c'est-à-dire qu'il vérifie la propriété suivante :

  • Toute suite croissante d'idéaux est stationnaire.

En effet, si (Jn) est une suite croissante d'idéaux, l'union J de tous ces idéaux est un idéal (du fait que la suite est croissante). Soit a un générateur de J, il existe un entier N tel que JN contient a. On en déduit les inclusions suivantes :

\forall n \ge N \quad J \subset J_N \subset J_n \subset J.

Ces inclusions montrent qu'à partir du rang N, la suite est constante égale à J. Elle est donc stationnaire.

La noethérianité entraîne de nombreuses propriétés ; les deux suivantes sont vraies pour tous les anneaux commutatifs, mais imposent l'usage d'une forme plus élaborée de l'axiome du choix pour une démonstration du cas général :

  • Tout idéal distinct de l'anneau est inclus dans un idéal maximal.

En effet, si un idéal distinct de l'anneau n'est inclus dans aucun idéal maximal, il est possible de construire une suite croissante d'idéaux qui n'est pas stationnaire et l'anneau n'est pas noethérien (donc pas principal).

  • Un élément de A est inversible si et seulement s'il n'appartient à aucun idéal maximal.

En effet, un élément a de A est non inversible si et seulement si l'idéal a.A est distinct de A c'est-à-dire, d'après la proposition précédente, si et seulement s'il est inclus dans un idéal maximal.

Anneau de Dedekind

Article détaillé : Anneau de Dedekind.

Il existe un type particulier d'anneaux noethériens important en théorie des nombres, les anneaux de Dedekind.

Un anneau de Dedekind est un anneau intègre noethérien A, dont tout idéal premier non nul est maximal, et tel que A est intégralement clos, c'est-à-dire que les seuls éléments du corps des fractions de A qui sont entiers sur A sont les éléments A. (Rappelons qu'un élément est entier sur A si et seulement s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A.)

  • Un anneau principal est intégralement clos.

On en déduit la proposition suivante :

  • Un anneau principal est de Dedekind.

Module sur un anneau principal

Un module sur un anneau est aux anneaux ce qu'un espace vectoriel est à un corps. Un module sur un anneau A intègre est un groupe abélien disposant d'une multiplication externe dotée des mêmes propriétés que celle d'un espace vectoriel.

  • Un module est dit libre s'il admet une base. Il est dit de type fini s'il admet une famille génératrice de cardinal fini.

La situation n'est pas la même que celle d'un espace vectoriel. Un module de type fini n'admet pas nécessairement une base. Par exemple un groupe abélien fini G peut être aussi vu comme un Z module si z est un entier relatif et m un élément du module, z.m est égal à l'itérée m + m + ... + m z fois si z est positif et l'inverse de l'itéré -z fois si z est négatif. Toute famille finie (gi) de G admet une relation linéaire non triviale, si e est l'exposant du groupe G, e.g1 + e.g2 + ... est égal à zéro. Cette configuration est étudiée dans l'article groupe abélien de type fini.

Dans le cas d'un anneau principal A, la configuration est proche de celle des espaces vectoriels :

  • Soit M un A module libre de type fini et de rang m, tout sous A module N de M admet une base de cardinal inférieur ou égal à m.

Un corollaire immédiat est le suivant :

  • Un module libre de type fini sur un anneau principal est noethérien.

Dans le cas d'un anneau euclidien, il existe un algorithme effectif permettant de déterminer une base. Il se trouve dans l'article Théorème des facteurs invariants.

Généralisations

Les anneaux principaux disposent de tous les théorèmes qui fondent l'arithmétique sur l'ensemble des entiers relatifs. En revanche, il existe de nombreux anneaux intègres qui ne sont pas principaux.

Géométrie algébrique

Article détaillé : Géométrie algébrique.

La géométrie algébrique étudie principalement les variétés algébriques, c'est-à-dire les hypersurfaces d'un espace vectoriel de dimension n sur un corps K définies comme les racines d'un idéal de l'anneau des polynômes à n indéterminées. Ainsi la sphère de R3 est définie comme les racines des polynômes à coefficients réels multiple de X2 + Y2 + Z2 - 1. Or l'anneau des polynômes à plusieurs variables n'est pas un anneau principal.

Un anneau factoriel est par définition un anneau où un analogue du théorème fondamental de l'arithmétique est vérifié. Le lemme d'Euclide est vrai dans un tel anneau, ce n'est en revanche pas le cas du théorème de Bachet-Bézout, qui caractérise[5] en fait les anneaux principaux parmi les anneaux factoriels. Les anneaux de polynômes en plusieurs indéterminées à coefficients dans un corps sont par exemple factoriels mais pas principaux.

Théorie algébrique des nombres

Article détaillé : Théorie algébrique des nombres.

La solution utilisée pour les anneaux de polynômes n'est pas toujours pertinente. Les anneaux d'entiers algébriques, par exemple, ne sont pas toujours factoriels. Une autre approche permet néanmoins de retrouver une arithmétique analogue.

Les anneaux d'entiers algébriques sur un corps de nombres c'est-à-dire des extensions finies des nombres rationnels possèdent des idéaux non principaux. En revanche, il suffit d'une famille finie d'éléments pour générer tout idéal. Plus précisément, tout idéal d'un anneau d'entiers algébriques sur un corps de nombre A est un sous-A module disposant d'une base de cardinal égal à la dimension du corps de nombres, considéré comme un Q espace vectoriel. Un anneau A qui ne possède que des idéaux de type fini (c'est-à-dire engendré par une famille finie d'éléments, si l'idéal est considéré comme un A module) est dit noethérien. La théorie des anneaux noethériens dépasse celle de l'algèbre commutative, contexte des anneaux principaux.

Les bons anneaux d'entiers algébriques, c'est-à-dire ceux qui sont intégralement clos, disposent de propriétés supplémentaires. Ils vérifient les axiomes caractérisant la structure dite de Dedekind. Ces propriétés permettent d'établir une arithmétique encore analogue à celle des entiers relatifs. Les nombres premiers sont remplacés par les idéaux premiers et tout idéal admet une unique décomposition en idéaux premiers, résultat qui remplace le théorème fondamental de l'arithmétique perdu pour cette configuration.

Notes et références

Notes

  1. Cette définition est par exemple celle utilisée dans Idéaux, anneaux, quotients sur les-mathématiques.net.
  2. Cet exemple est développé p. 53-55 dans Daniel Perrin, Cours d'algèbre  [détail des éditions]
  3. Cet exemple est tiré de la p. 81 de Algèbre commutative par A. Chambert-Loir, université de Rennes I.
  4. La démonstration qui suit est donnée par A. Ducros (université de Rennes I), p. 1-2 de « Modules de type fini sur un anneau principal » .
  5. Cette caractérisation est énoncée dans l'exercice 6 du chapitre 2 de Daniel Perrin, Cours d'algèbre  [détail des éditions], p. 61, avec la précision que l'hypothèse de noethérianité n'est pas nécessaire.

Références

Liens externes



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