Anneau noetherien

Anneau noethérien

Emmy Noether formalise les propriétés d'une famille particulière d'anneaux maintenant appelé anneau noethérien.

En mathématique, un anneau noethérien est un cas particulier d'anneau, c'est-à-dire d'un ensemble munis d'une addition et d'une multiplication compatible avec l'addition, au sens de la distributivité.

De nombreuses questions mathématiques s'expriment dans un contexte d'anneau, les endomorphismes d'un espace vectoriel ou d'un module sur un anneau, les entiers algébriques de la théorie algébrique des nombres, ou encore les surfaces de la géométrie algébrique. Si les anneaux sont nombreux, rares sont ceux disposant des propriétés communes aux exemples les plus simples comme les entiers relatifs ou les polynômes à coefficients dans un corps. La division euclidienne n'existe en général plus, les idéaux outils majeurs de la théorie des anneaux ne sont plus toujours principaux et le théorème fondamental de l'arithmétique ne possède plus d'équivalent.

L'approche, consistant à étudier une question uniquement sous l'angle des propriétés spécifiques d'une structure d'anneau particulière s'est révélée fructueuse. Richard Dedekind l'a utilisé avec succès en arithmétique et David Hilbert en géométrie algébrique. Emmy Noether, choisit un nombre de propriétés vérifiée par l'anneau plus limité et parvient avec succès à démontrer l'existence de nombreuses propriétés.

Le terme d'anneau noethérien apparait en 1954 sous la plume de mathématiciens japonais[1].

Sommaire

Approche intuitive

Dans certains cas simples, tout les idéaux d'un anneau A sont principaux. Si A est considéré comme un module sur un anneau, les idéaux sont des sous-modules qui admettent tous une famille génératrice limitée à un élément. Cette situation n'est pas générale.

En arithmétique, il est fréquent d'utiliser des anneaux d'entiers algébrique comme par exemple les entiers quadratiques de la forme a + b.i√5 où a et b sont des entiers relatifs et i l'unité imaginaire complexe. Il existe en effet dans cet anneau un idéal, formé des éléments de la forme 2.a + b(1 + i√5), où a et b sont des entiers relatifs qui ne sont pas principaux. Si cet idéal n'est pas principal, c'est-à-dire n'est pas engendré par un unique élément, en revanche il est engendré par un nombre fini d'éléments, ici deux. Dans l'anneau considéré, c'est-à-dire Z[i.√5] (la lettre Z désigne dans tout l'article l'anneau des entiers relatifs) tous les idéaux sont engendrés par un ou deux éléments. Cette configuration est la même pour tout anneau d'entiers algébriques d'une extension finie du corps des nombres rationnels.

Cette configuration se retrouve en théorie des groupes. Si G est un groupe abélien de type fini c'est-à-dire admettant une famille génératrice fini, il est possible de munir le groupe d'une structure de Z module. Tout sous-groupe de G, qui est aussi un sous-module, admet une famille génératrice finie (cf l'article groupe abélien de type fini). La propriété est la même, même si elle s'applique à un module et non plus à un anneau.

Soit M un module sur un anneau A admettant une base, l'ensemble des endomorphismes L(M) de M est une algèbre sur un anneau est aussi un anneau. Comme l'ensemble des endomorphismes est un module de dimension finie, tout idéal de L(M), qui est aussi un sous module possède une famille génératrice finie. On retrouve une configuration analogue pour les représentations d'un groupe fini avec la notion d'algèbre d'un groupe fini. Dans ces exemples, l'anneau n'est ni intègre ni commutatif.

Cette propriété, indiquant que tout idéal d'un anneau A admet une famille génératrice finie si l'idéal est considéré comme un sous A module est fréquente en mathématiques. Elle correspond à la notion formalisée par la définition d'anneau noethérien et est un peu équivalente à l'hypothèse de la dimension finie en algèbre linéaire.

Définitions

Anneau et module

Article détaillé : module sur un anneau.

De même qu'un corps commutatif est un espace vectoriel sur lui-même, il est possible de considérer un anneau A comme un A module. Si l'anneau n'est pas commutatif, il existe deux produits externes différents : soit λ un élément de A vu comme un scalaire et a un élément de A vu comme un vecteur, les deux produits externes associent respectivement à (λ, a) le vecteur λ.a et a.λ.

Une deuxième différence réside dans les sous-espaces vectoriels. Le corps n'en contient que deux, l'espace réduit à l'élément neutre et lui-même. Pour un A module, la notion de sous-module coïncide avec celle d'idéal. Si le premier produit externe est choisi, on parle d'idéal à gauche, sinon d'idéal à droite. Le module A est possède une famille génératrice constitué d'un unique élément, il suffit de prendre un élément inversible quelconque. Dire que l'anneau est principal revient à dire, avec ce formalisme, que tous les sous-modules admettent une famille génératrice composée d'un unique élément. Ce n'est pas toujours le cas. Dans Z[X], l'anneau des polynômes à coefficients dans Z, l'ensemble des polynômes à coefficient constant pair est un idéal, et donc un sous-module il faut au moins deux éléments comme 2 et X pour engendrer ce sous-module.

Le concept noethérien se définit plus simplement sur un module, la définition d'anneau noethérien devient alors un cas particulier, celui où l'anneau est considéré comme un module sur lui-même.

Définitions

La définition sur les modules est la suivante :

  • Soit A un anneau, un A module M est dit noethérien si et seulement si tout sous module de M est engendré par une famille finie.

On en déduit l'équivalent pour les anneaux :

  • Un anneau A est dit noethérien à gauche si et seulement si tous les idéaux à gauche admettent une famille génératrice finie, au sens où A est considéré comme un A module.
  • Un anneau A est dit noethérien à droite si et seulement si tous les idéaux à droite admettent une famille génératrice finie.
  • Un anneau A est dit noethérien s'il est noethérien à droite et à gauche.

Dans le cas des anneaux commutatifs, les trois définitions coïncident.

Il existe deux définitions alternatives et équivalentes, elles se traduisent immédiatement pour les anneaux :

  • Soit A un anneau et M un A module, les trois propositions suivantes sont équivalentes :
  1. Le A module M est noethérien.
  2. Toute suite croissante de sous-modules de M est stationnaire.
  3. Toute famille non vide de sous-modules admet un élément maximal pour l'inclusion.

Propriétés

Dans tout le paragraphe N est un anneau noethérien à gauche et M un A module noethérien. Les démonstrations sur les anneaux noethériens peuvent être courtes. La proposition suivante, utilisée dans l'article Anneau de Dedekind est un exemple :

  • Tout idéal à gauche de N contient un produit d'idéaux premiers à gauche.[2]

Les sous-modules d'un module noethérien sont noethériens, une produit fini de modules noethériens sur un même anneau est aussi noethérien, le quotient d'un module noethérien par un sous-module est aussi noethérien. Ces propriétés se démontrent à l'aide de la proposition suivante :

  • Soit P un sous-module de M, le module M est noethérien si et seulement si P et M/P le sont aussi.

Si A est un anneau, la question se pose de savoir si An est un module noethérien. Si A n'est pas noethérien, la réponse n'a aucune chance d'être positive, sinon elle est résolue par la proposition suivante :

  • Soit n un entier positif, le module à gauche Nn est noethérien.[3]

Exemples

Premiers cas

Tout corps est manifestement noethérien, par absence d'idéaux non triviaux. Tout anneau principal est aussi noethérien car chaque idéal est engendré par un unique élément, ainsi Z, K[X] l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps est noethérien. En revanche, lorsque c'est possible, il est plus simple de les étudier à l'aide d'une division euclidienne ou, ce qui est toujours possible, d'utiliser le théorème fondamental de l'arithmétique dans le cadre d'un anneau factoriel.

Tout anneau fini est noethérien, on trouve leur présence, par exemple dans le cadre de la géométrie algébrique ou de la théorie algébrique des nombres.

Polynômes

Un anneau de polynômes n'est pas toujours principal, Z[X] est un exemple déjà cité. Un anneau de polynôme en plusieurs indéterminées Q[X, Y] n'est pas non plus principal, l'idéal des polynômes de degré supérieurs ou égal à 1 nécessite deux générateurs, les indéterminées X et Y.

Le théorème suivant, découvert par David Hilbert en 1888[4] et parfois nommé Théorème de la base de Hilbert établit que les anneaux de polynômes à une indéterminée noethériens sont nombreux :

  • Soit A un anneau commutatif noethérien, l'anneau des polynômes A[X] est noethérien.

Un corollaire permet de considérer le cas de plusieurs indéterminées :

  • Soit A un anneau commutatif noethérien et n un entier strictement positif, l'anneau des polynômes A[X1, ...,Xn] est noethérien.[5]

En revanche, l'anneau des polynômes d'un nombre infini d'indéterminées ne l'est pas. Il suffit de considérer la suite d'idéaux dont le nième est engendré par (X1, ...,Xn) pour obtenir une suite qui n'est pas stationnaire à partir d'un certain rang.

Comme exemple d'utilisation, on peut imaginer en géométrie une surface algébrique S définie comme l'ensemble des racines d'une famille infinie de polynômes à plusieurs indéterminées et sur un anneau noethérien. Le théorème de la base de Hilbert indique qu'il suffit de considérer une famille finie de polynômes pour définir S. En effet, l'ensemble des polynômes s'annulant sur S forme un idéal.

Anneau d'entiers algébriques

Plusieurs exemples d'anneaux noethérien proviennent de l'arithmétique. L'origine de ses anneaux provient de l'étude d'équations diophantiennes, même si leur utilisation dépasse maintenant largement ce cadre. Un exemple simple est donné par le théorème des deux carrés de Fermat, l'anneau des entiers Z est enrichi par celui des entiers de Gauss. Une approche simple est celle des entiers quadratiques. Cette famille d'anneaux, dit de anneau de Dedekind sont tous noethériens.

Le contexte général est celui d'un anneau A ici commutatif unitaire intègre et noethérien. Soit K son corps des fractions et L une extension finie de K, que l'on suppose séparable. L'ensemble considéré B est celui des entiers algébriques de L sur A, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de L dont le polynôme minimal est à coefficients dans A. L'article Polynôme minimal d'un nombre algébrique montre que B est un anneau contenant A. Il est clairement commutatif unitaire et intègre, il dispose de plus de la propriété suivante :

  • L'ensemble B est noethérien, à la fois vu comme un A module et comme un anneau.

Ce résultat est lourd de conséquences, par exemple en théorie algébrique des nombres. La démonstration proposée ici utilise un outil, appelé forme trace utilisé aussi pour définir le discriminant d'un anneau d'entiers algébriques.[6] Une démonstration plus simple est proposée dans le cas particulier des entiers quadratiques dans l'article Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique.

Un autre anneau possède d'importantes propriétés noethériennes, il correspond au localisé d'un anneau noethérien N. Si P est un idéal premier de N un anneau commutatif unitaire intègre noethérien et intégralement clôt (de corps des fractions encore noté K), le localisé de N en P, souvent noté N(P) est l'anneau des fractions de type u/v avec u élément de N et v élément de N - P.

Notes et références

Notes

  1. M. Yoshida M. Sakuma On integrally closed noetherian rings J. of Sc. of Hiroshima Univ Series A tome 17 1954 p. 311-315
  2. On trouve une démonstration analogue p 22 dans le site : Théorie algébrique des nombres un cours de maîtrise par Bas Edixhoven de l'Université de Renne I.
  3. Ces démonstrations sont disponibles p 110 sur le site Algèbre commutative par A. Chambert-Loir Cours à l’Université de Rennes 1 (2006–2007)
  4. La preuve de Hilbert provoqua une vaste polémique à son époque. La preuve n'est en effet pas constructive, elle démontre l'existence d'une base sans indiquer comment l'obtenir. Gordan, le spécialiste de la question s'exclama Ce n'est pas des mathématiques, c'est de la théologie, il finit quelques années plus tard par admettre cette preuve et indiqua que J'ai acquis la conviction que la théologie a aussi ses avantages : J. Boniface Hilbert et la notion d'existence en mathématiques Librairie Philosophique Vrin 2004 Chap 2 p 53 et Chap 1 p 15 (ISBN 2711616061)
  5. Deux démonstrations analogues se trouve p 122 sur le site Algèbre commutative par A. Chambert-Loir Cours à l’Université de Rennes 1 (2006–2007)
  6. Une démonstration est donné p III 3 sur le site Nombres algébriques et nombres p-adiques par Loïc Merel cours préparatoire aux études doctorales 2003-04

Liens externes

Références

  • (fr) Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808) [détail des éditions]
  • (fr) N. Bourbaki Eléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitre 8: Dimension. Chapitre 9: Anneaux locaux noethériens complets Hermann 1983 (ISBN 2225787166)
  • (en) Cox, Little, and O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms 2nd éd Springer-Verlag, 1997 (ISBN 0387946802)
  • (fr) Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]
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