Anneau local

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal. En géométrie algébrique, les anneaux locaux représentent les fonctions définies aux voisinages d'un point donné.

Le quotient d'un anneau local A par son unique idéal maximal s'appelle le corps résiduel de A.

Un homomorphisme d'anneaux locaux f : A\to B est un homomorphisme d'anneaux qui envoie l'idéal maximal de A dans celui de B.

Remarque: Pour certains auteurs[1], un anneau ayant un unique idéal maximal est appelé quasi-local, réservant ainsi le nom d'anneaux locaux aux anneaux quasi-locaux noethériens. Mais cette convention est peu répandue.

Exemples:

  • Tout corps commutatif est un anneau local, d'idéal maximal (0).
  • Pour tout nombre premier p, l'ensemble \Z_{(p)} des nombres rationnels dont le dénominateur n'est pas divisible par p est un anneau local; son unique idéal maximal est p\Z_{(p)}. Cet anneau est aussi principal, il correspond à une structure d'anneau de valuation discrète.
  • Tout anneau de valuation est local.
  • Pour tout corps commutatif K, l'anneau K[[X_1, \ldots, X_n]] des séries formelles à coefficients dans K et à n variables est un anneau local dont l'idéal maximal est engendré par X_1,\ldots, X_n.
  • L'anneau des germes des fonctions holomorphes à n variables à l'origine (0,…,0) est un anneau local dont l'idéal maximal est induit par les fonctions holomorphes s'annulant à l'origine. On peut aussi remplacer les fonctions holomorphes par les fonctions de classe Ck pour tout entier fixé k positif ou nul.

Critère: un anneau A est local si et seulement si l'ensemble des éléments non inversibles de A forment un idéal (qui sera alors l'idéal maximal de A).

Construction: Le procédé de localisation fait apparaître de façon naturelle des anneaux locaux. En effet, si P est un idéal premier de A, alors le localisé AP de A par rapport à la partie multiplicative A \ P est un anneau local, d'idéal maximal engendré par l'image de P dans AP. L'exemple des entiers p-adique \mathbb Z_p ci-dessus est la localisation de \Z en l'idéal premier p\Z.

Le quotient d'un anneau local par un idéal propre est encore un anneau local.

Dans un anneau local, tout idéal inversible est principal[2].

Un anneau commutatif unitaire est appelé un anneau semi-local s'il ne possède qu'un nombre fini d'idéaux maximaux. La somme directe d'un nombre fini d'anneaux locaux est semi-local. Si S est le complémentaire de la réunion d'un nombre fini d'idéaux premiers P_1,\ldots, P_n dans un anneau commutatif unitaire A, alors le localisé S − 1A est semi-local. Ses idéaux maximaux sont les idéaux engendrés par les images des Pi (on ne garde que les Pi contenus dans aucun autre Pj).

Note

  1. M. Nagata: Local rings, p. 13
  2. Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions] p. 21

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