Anneau integre

Anneau intègre

Un anneau intègre ou anneau d'intégrité[1] est, en mathématiques et plus particulièrement dans la théorie des anneaux, un anneau (unitaire) qui ne possède aucun diviseur de zéro, et non réduit à l'élément neutre pour la première loi.

Sommaire

Définition

Un anneau (A,+,\times) est dit intègre, s'il est non réduit à l'élément neutre de la première loi et ne possède aucun diviseur de zéro, c’est-à-dire que tout élément non nul de A est régulier pour la deuxième loi notée multiplicativement, soit encore :

\forall (a, b) \in A^2,\  a\times b = 0_A \Longrightarrow (a=0_A \quad \mathrm{ou}\quad b=0_A)

Par convention, l'anneau nul {0A} n'est pas intègre.

En pratique, travailler dans un anneau intègre permet de résoudre des équations produit-nul.

Si un anneau A est intègre, l'ensemble A-{0} des éléments non nuls forme une partie multiplicative de A, c'est-à-dire stable par la multiplication de A. Cette propriété permet de définir le procédé de localisation sur un anneau. Si l'anneau A est unitaire, A-{0} est un monoïde.

Nicolas Bourbaki[2] et de nombreux auteurs imposent dans leur définition à un anneau intègre d'être commutatif, mais ne l'imposent pas pour la définition d'un corps, cela est justifié par les propriétés qu'ont les anneaux intègres commutatifs.

Propriétés des anneaux commutatifs intègres

  • Par le procédé de localisation, tout anneau (commutatif) intègre peut être plongé dans un corps. Il existe à isomorphisme près un plus petit corps dans lequel il peut être plongé, appelé le corps des fractions.
Article détaillé : Corps des fractions.
  • Un anneau (commutatif) A est intègre si et seulement si son anneau des polynômes A[X] l'est.
  • Un anneau I intègre commutatif et fini est un corps (\forall a \in I, \phi_{a}: x \longmapsto ax de I dans lui même est bijectif car injectif à cause de l'intégrité, d'où l'existence de y tel que φa(y) = 1).

Exemples

  • Tout corps est un anneau intègre (non nécessairement commutatif).
  • L'ensemble \mathbb Z des entiers relatifs est un anneau intègre. Par définition, \mathbb Q est son corps des fractions.
  • L'anneau des congruences modulo 6 noté \mathbb Z/6\mathbb Z n'est pas intègre car on peut y écrire \overline{3}\times \overline{2}=\overline{6}=\overline{0}. Plus généralement l'anneau des congruences modulo n noté \Z/n\Z est intègre si et seulement si n est premier, et dans ce cas, c'est un corps, ou si n est nul.
  • Si un anneau A est commutatif et si I est un idéal propre de A, l'anneau A/I est intègre si et seulement si l'idéal I est un idéal premier.
  • L'anneau \Z/n\Z\times\Z/n\Z n'est pas intègre, (1,0) et (0,1) sont deux éléments non nuls dont le produit est nul. Plus généralement, le produit de deux anneaux (unitaires non nuls) n'est pas intègre.
  • L'anneau des matrices carrées de taille n ≥ 2 à coefficients réels n'est pas intègre (il n'est pas commutatif et il admet des diviseurs de 0 : les matrices de rang strictement inférieur à n, les matrices nilpotentes par exemple).

Notes et références

  1. Godement, Algèbre, ed. Hermann
  2. N.Bourbaki Algèbre, 1970, chapitre 1, page I.110
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