Anneau a valuation discrete

Anneau à valuation discrète

En mathématiques, un anneau à valuation discrète est un cas particulier d'anneau intègre. Il dispose d'une structure particulièrement simple puisqu'il ne contient qu'un unique idéal maximal et qu'il est principal.

Il est utilisé en théorie algébrique des nombres ou en géométrie algébrique, il correspond à un outil utilisé dans le cadre d'un anneau noethérien ou de Dedekind.

Sommaire

Définition et exemple

Définitions

Un anneau est dit à valuation discrète si et seulement s'il est commutatif unitaire intègre principal et qu'il ne contient qu'un unique idéal premier.

Un générateur de l'idéal principal est appelé uniformisante ou paramètre local de l'anneau.[1]

Exemples

  • Un exemple simple est fourni par un sous-anneau de l'ensemble des rationnels, considérons l'ensemble Zp des fractions a/ba est un entier relatif et b un entier différent de zéro et premier avec p un nombre premier. On vérifie immédiatement que cet ensemble forme un anneau. Tous les éléments de Zp non nuls formés par une fraction ne comportant pas de multiple de p au numérateur (et par définition pas non plus sur le dénominateur) sont des éléments du groupe des unités (c'est-à-dire le groupe des éléments inversibles de l'anneau.
  • L'exemple générique est le suivant : soit (F, v) un corps valué, l' anneau de valuation de v est le sous-ensemble :
 A := \{x \in F | v(x) \geq 0 \}

Il est évident que A est bien un anneau et il est à valuation discrète. On a v(x − 1) = − v(x) dans F * , et donc x est une unité de A si et seulement si v(x) = 0. Ainsi un anneau à valuation discrète est un anneau local d'idéal maximal :

M = \{x \in F | v(x) > 0 \} .

Soit t un élément de F tel que v(t) = 1; alors l'idéal maximal M est engendré par t et tout idéal non nul de A est une puissance de M. En particulier A est noethérien et principal s'il est de plus intégralement clôt ou si M est inversible.

Propriétés

Dans tout le paragraphe A désigne un anneau à valuation discrète, M son idéal principal et m une uniformisante, c'est-à-dire que m.A est égal à M.

En effet, dans un anneau principal, tout idéal premier est maximal.

  • Tout élément non nul de A qui n'est pas dans M est une unité, c'est à dire un élément inversible.

En effet, dans un anneau principal un élément est inversible si et seulement s'il n'est pas élément d'un idéal maximal.

  • L'intersection des éléments de la suite (Mn), si n décrit l'ensemble des entiers positifs, est réduite à l'élément neutre de l'addition.

La suite (Mn) est emboitée, pour tout n entier positif Mn+1 est inclus dans Mn, ce qui montre que l'intersection de tous les éléments de la famille forme un idéal J. Montrons que J est premier. Soit a et b deux éléments de A tel que a.b est élément de J. Comme J est inclus dans M, soit a soit b est inclus dans M. Supposons que a soit inclus dans m.A, alors m−1a est un élément de A tel que m−1a.b est élément de J. En conséquence, soit m−1a, soit b est élément de M. En réitérant 2n fois le raisonnement, on montre que soit a soit b est élément de Mn, ce qui démontre que soit a soit b est élément de J.

Le seul idéal premier non nul de A est M, or J est différent de M. Le fait que J soit premier montre qu'il est égal à l'idéal nul.

  • Soit L un idéal de A, il existe un entier μ tel que L est égal à Mμ.

M 0 contient L et la suite (M n) est d'intersection nulle, on en déduit l'existence un entier μ maximal tel que M μ contient L. Maximal signifie ici qu'il existe un élément de L qui n'est pas multiple de m μ+1, de plus tout élément de L est multiple de m μ. Soit N l'idéal m L, il contient un élément qui n'est pas multiple de m. Une proposition précédente montre que les seuls éléments non multiple de m sont les éléments inversibles. On en déduit que m L est égal à A et L à M μ.

Critères

Construire un anneau n'ayant qu'un unique idéal maximal est relativement aisé. Soit B est un anneau commutatif unitaire intègre K son corps des fractions et P un idéal premier, considérons l'ensemble des fractions u / v ou u est un élément de B et v un élément non nul de B et non élément de P. Un tel anneau, souvent noté B(P) est appelé le localisé de B en P. Il ne possède qu'un unique idéal maximal : P.B(P). En revanche, rien ne permet d'indiquer qu'un tel anneau est principal, ou qu'il ne contient pas un autre idéal premier. Exemple : le localisé de l'anneau des polynômes Z[X,Y] en l'idéal premier P = < X,Y > .

Pour cette raison, il est utile de rechercher des critères permettant d'établir qu'un anneau A est à valuation discrète. La théorie algébrique des nombres utilise en particulier celui-ci :

  • Soit A un anneau commutatif unitaire intègre noethérien, intégralement clos, si A ne possède qu'un unique idéal premier non nul, A est un anneau à valuation discrète.

On peut en citer un deuxième :

  • Soit A un anneau commutatif unitaire intègre noethérien n'ayant qu'un idéal maximal M et tel que M est inversible, A est un anneau à valuation discrète.[2]

Il en existe d'autres. Lorsque A est un anneau commutatif unitaire, les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. A est un anneau de valuation discrète ;
  2. A est un anneau de valuation principal ;
  3. A est un anneau de valuation noethérien (l'idéal maximal de A est alors engendré par un élément w, ce qui certifie que l'anneau est principal : tout élément non nul de A est une puissance de w à un inversible près) ;
  4. A est un anneau local, noethérien, d'idéal maximal principal non nilpotent.


Notes et références

Notes

  1. Cette définition est disponible page I-2 sur le site : Nombres algébriques et nombres p-adiques par Loïc Merel cours préparatoire aux études doctorales 2003-04
  2. Ces deux exemples sont tirés du site p II-2 et II-3 : Nombres algébriques et nombres p-adiques par Loïc Merel cours préparatoire aux études doctorales 2003-04. La démonstration proposée est issue de ce site.

Liens externes

Références

  • (fr) Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]
  • (fr) Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]
  • (fr) Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions]
  • (fr) Nicolas Bourbaki Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitre 8: Dimension. Chapitre 9: Anneaux locaux noethériens complets Hermann 1983 (ISBN 2225787166)
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