Anneau Local

Anneau local

En mathématiques, un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal.

  • Tout corps commutatif est un anneau local, d'idéal maximal (0).
  • Pour tout nombre premier p, l'ensemble \Z_{(p)} des nombres rationnels dont le dénominateur n'est pas divisible par p est un anneau local; son unique idéal maximal est p\Z_{(p)}. Cet anneau est aussi principal, il correspond à une structure d'anneau à valuation discrète.
  • Pour tout corps commutatif K, l'anneau K[[X]] des séries formelles à coefficients dans K est un anneau local dont l'idéal maximal est engendré par X.

Un anneau commutatif A est un anneau local si, et seulement si le complémentaire dans A de l'ensemble des unités de A est un idéal de A. C'est alors l'unique idéal maximal de A.

Le quotient d'un anneau local A par son unique idéal maximal s'appelle le corps résiduel de A.

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