Anneau Factoriel

Anneau factoriel

En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau commutatif, unitaire et intègre. À l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique pour une telle structure. Tout élément d'un anneau factoriel se décompose en un produit d'un élément inversible et d'éléments irréductibles. Un élément irréductible est un élément qui, dans une décomposition en produit de deux facteurs, contient toujours un élément inversible. Par exemple dans Z, l'anneau des entiers, -2 est irréductible. La décomposition en facteurs irréductibles est unique dans un anneau factoriel, aux éléments inversibles près.

Les exemples d' anneau factoriel ne sont pas rares. Tout anneau principal, c'est-à-dire tel que tout idéal est principal est factoriel. La réciproque n'est pas vraie. Ainsi un anneau de polynômes à coefficients dans un anneau factoriel est factoriel mais n'est pas principal si l'anneau n'est pas un corps. En ce sens, le concept d'anneau factoriel généralise celui d'anneau principal.

Certains résultats usuels de l'arithmétique élémentaire s'appliquent sur un anneau factoriel. Ainsi, le lemme d'Euclide est vérifié et il est possible de définir un plus grand commun diviseur et un plus petit commun multiple bénéficiant presque des propriétés usuelles sur Z.

Sommaire

Définitions

Une première définition est nécessaire pour exprimer celle d'anneau factoriel :

  • Un élément a non nul d'un anneau commutatif unitaire et intègre est dit irréductible si et seulement s'il n'est pas inversible et si toute décomposition en deux facteurs b et c de a, a = b.c comporte un élément inversible (soit b soit c).

La définition la plus courante d'anneau factoriel est :

  • Un anneau commutatif unitaire intègre A est dit factoriel si et seulement s'il vérifie les deux propriétés suivantes :

(1) Pour tout élément a non nul de A, il existe un élément inversible u et une suite finie p1, …, pn d'éléments irréductibles de A tel que :

a = u p_1\cdots p_n\;

(2) La decomposition est unique au sens suivant. Soit v un élément inversible et q1qm une deuxième décomposition de a :

a = u p_1\cdots p_n= v q_1\cdots q_m \;

alors n est égal à m et il existe une permutation σ de l'ensemble [1, n] et des éléments inversibles wi tel que :

 \forall i \in [1,n ]\quad p_i = w_iq_{\sigma (i)}\;[1]


Dans un anneau factoriel A, il est possible de définir une relation d'association entre éléments irréductibles. Deux éléments irréductible p et q de A sont associés s'il existe un élément inversible u tel que p = u.q. Cette relation est une relation d'équivalence. Certains anneaux possèdent des éléments irréductibles particuliers, ainsi un élément irréductible et positif de Z est appelé nombre premiers. Dans K[X] les éléments particuliers sont les polynômes irréductibles unitaires, c'est-à-dire dont le coefficient du monôme dominant est égal à un. Chaque classe d'équivalence contient un unique élément irréductible particulier. Cette approche permet de normaliser la décomposition en facteurs irréductibles de telle sorte que l'unicité ne soit plus définie aux éléments inversibles près.

Il est toujours possible d'établir une normalisation de cette nature. Il suffit de définir une famille (pi) d'éléments irréductibles tel que si i est différent de j alors pi n'est pas associé à pj et si π est un élément irréductible il existe un indice i tel que π est associé à pi. Le lemme de Zorn montre qu'il est toujours possible de trouver une famille maximale d'éléments irréductibles deux à deux non associés. Cette normalisation est utilisée dans la suite de l'article pour ne pas alourdir les énoncées. Elle n'est pas nécessaire, cependant les unicités s'expriment alors aux éléments inversibles près. Un élément a d'un anneau factoriel s'écrit :

a =u \prod_{i\in I}p_i^{v_p(a)}

La fonction de A dans N, l'ensemble des entiers naturels, qui à a associe vpi(a) s'appelle une valuation p-adique. La valeur vpi(a) est aussi appelée ordre de multiplicité de pi dans a.

Dans la suite de l'article A désigne un anneau factoriel et (pi) une telle famille d'éléments irréductibles (sauf mention explicite contraire).

Motivation

L'arithmétique dans l'anneau des entiers relatifs permet la démonstration de nombreux théorèmes. Les démonstrations utilisent le fait que cet anneau est euclidien donc principal. En revanche, de nombreux anneaux ne le sont pas, par exemple celui des polynômes à coefficients dans les entiers relatifs ou encore les polynômes en plusieurs indéterminées sur un corps commutatif.

Ce dernier exemple est important, les variétés algébriques sont définies comme les racines d'un idéal de polynômes à plusieurs variables. Ainsi la sphère réelle est définie comme les racines communes des polynômes à trois indéterminées multiples de X2 + Y2 + Z2 - 1. L'anneau des fonctions polynomiales définies sur la sphère n'est ni euclidien ni principal. En revanche, il est factoriel.

Sur un anneau factoriel, certains théorèmes fondamentaux des anneaux principaux restent vrais. Ainsi, le lemme d'Euclide, les propriétés des plus petits communs multiples et des plus grands communs diviseur ou encore le théorème fondamental de l'arithmétique restent valables (ce dernier est vérifié par définition).

Tous ne s'appliquent plus, ainsi un idéal premier n'est pas toujours maximal. Dans Z[X], l'anneau des polynômes à coefficients dans Z, l'anneau des entiers relatifs, 2Z[X] n'est pas maximal et Z[X] / 2Z[X] n'est pas un corps car la classe de X n'est pas inversible. L'identité de Bézout n'est pas toujours vérifiée, dans Z[X] les éléments 2 et X n'ont pas de facteur commun, pourtant l'idéal engendré par 2 et X n'est pas l'anneau tout entier.

Exemples et contre-exemples

  • L'anneau Z est évidemment le premier exemple d'anneau factoriel. Mais on trouve aussi l'anneau de Gauss Z[i] des complexes s'écrivant sous la forme a + ib où a et b sont des entiers relatifs.
  • Si K est un corps alors l'ensemble K[X] des polynômes à coefficient dans K est un anneau factoriel, ainsi que K[X1, X2, ...,Xn]. Plus généralement, dès que A est factoriel, il en est de même de A[X].
  • On démontre que tout anneau euclidien ou tout anneau principal est aussi factoriel
  • Le contre-exemple le plus célèbre est l'anneau non-factoriel \mathbb Z[i\sqrt 3] dans lequel on trouve deux décompositions différentes de 4 : 4 = 2 \times 2 = (1 + i\sqrt{3})(1 - i\sqrt{3}) . Propriété qui donna l'occasion à Leonhard Euler de présenter une démonstration fausse du dernier théorème de Fermat pour n = 3 (Algebra 1770). Pour pallier cette difficulté, la méthode la plus simple est d'utiliser les entiers d'Eisenstein. La configuration générale d'une situation de cette nature est étudiée dans l'article sur l'entier quadratique. Pour trouver une solution très générale à cette difficulté Ernst Kummer crée des nombres idéaux, maintenant formalisé par les travaux de Richard Dedekind à travers le concept d'anneau de Dedekind.
  • Un contre-exemple "géométrique" est celui du quotient de K[X,Y,Z] par l'idéal engendré par X2YZ.

Soit p l'application de passage au quotient. p(X2) admet deux décompositions distinctes en facteurs irréductibles : on a p(X2) = p(X)p(X) mais aussi p(X2) = p(Y)p(Z)

Propriétés

Premières propriétés

  • Un anneau commutatif unitaire et intègre est factoriel si et seulement s'il vérifie les deux propriétés suivantes :
(1) Toute suite d'idéaux principaux croissantes est stationnaire à partir d'un certain rang.
(2) Tout idéal engendré par un élément irréductible est premier.[2]

Cette caractéristique est parfois plus simple pour établir le caractère factoriel d'un anneau. La proposition suivante en est un exemple :

  • Tout anneau principal est factoriel.

En effet, un anneau principal est noethérien, la première propriété est ainsi vérifiée. De plus si p est irréductible, l'idéal des multiples de p est premier et maximal. Ces propriétés sont démontrées dans l'article Anneau principal.

Comme un anneau factoriel A est commutatif unitaire intègre, il est possible de considérer son corps des fractions. Un élément de K est dit entier sur A si son polynôme minimal est à coefficients dans A. L'article Polynôme minimal d'un nombre algébrique montre que l'ensemble B des entiers algébriques de K sur A forme un anneau. Si B est égal à A, alors A est dit intégralement clos. La démonstration est identique à celle présentée dans l'article Anneau principal.

  • Soit π est un élément irréductible de A, si π divise le produit de deux éléments a et b, alors il divise soit a soit b.

Ce résultat est connu sous le nom de lemme d'Euclide ou parfois lemme de Gauss. Il est la conséquence directe de l'unicité de la décomposition de a.b en facteurs irréductibles.

Diviseur et multiple communs

  • Soit (an) une suite d'éléments de A, le plus grand commun diviseur de la suite est le produit de tous les facteurs pi présents dans la décomposition en facteur irréductible de chaque an avec le plus petit ordre de multiplicité trouvée dans la décomposition des an.
  • Le plus petit commun multiple de la famille (an), s'il existe, est le produit des facteurs pi présent dans une au moins des décompositions en facteurs irréductibles d'un élément an avec le plus grand ordre de multiplicité. Si la famille des indices est finie, le plus petit commun multiple existe toujours.
  • Une famille d'éléments de A est dite première entre elle si et seulement si le plus grand diviseur commun à la famille est égal à un. Dans ce cas, les éléments de la famille sont dit premiers entre eux dans leur ensemble.

Ces définitions généralisent les notions de plus petit commun multiple et plus grand commun diviseur. Dans ce contexte, certaines des propriétés vraies sur un anneau principal s'appliquent encore, d'autres non. La relation d'ordre utilisée ici est celle induite par l'inclusion des idéaux. L'élément a est dit 'plus petit qu'un élément b si et seulement si l'idéal engendré par a contient l'idéal engendré par b.

  • Soient (an) une famille d'éléments de A et b un élément de a, la relation suivante est vérifiée :
\text{pgcd} (b\cdot a_n)=b \cdot\text{pgcd} (a_n)\;
  • Soient (an) une famille finie d'éléments de A et b un élément de a, la relation suivante est vérifiée :
\text{ppcm} (b\cdot a_n)=b \cdot\text{ppcm} (a_n)\;
  • Soient (an) une famille finie d'éléments de A premiers entre eux deux à deux, la relation suivante est vérifiée :
\text{ppcm} (a_n)= \prod_n a_n\;
  • Soient a et b deux éléments de A, la propriété suivante est vérifiée, si G désigne le groupe des unités:
\exists u \in G\quad  a\cdot b = u\cdot \text{ppcm} (a,b)\cdot \text{pgcd} (a,b)\;
  • Soit (an) une famille d'éléments de A, le plus petit idéal principal contenant tous les an est l'idéal engendré par le plus grand commun diviseur de la famille (an).

En effet, il suffit de remarquer que tout élément de l'idéal engendré par la famille est multiple du plus grand commun diviseur et si un élément c de A est plus grand que le plus grand commun diviseur, alors il existe un élément ai de la famille qui n'est pas multiple de c. Le plus petit idéal principal contenant tous les an n'est pas nécessairement l'idéal engendré par la famille, car cet idéal n'est pas nécessairement principal. Ainsi dans Z[X] l'idéal engendré par 2 et X est l'idéal des polynômes admettant une constante multiple de deux, le plus petit idéal principal le contenant est l'idéal entier. Dans un anneau principal, les deux idéaux sont confondus. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Bachet-Bézout.

  • Soit (an) une famille d'éléments de A admettant un plus petit commun multiple, l'intersection des idéaux engendrés par la famille (an) est l'idéal principal engendré par le plus petit commun multiple.
  • Si A est quotienté par la relation d'équivalence R d'association définie dans le paragraphe Définitions, alors l'ensemble A/R munis des opérateurs pgcd et ppcm forme un treillis.

Anneau des polynômes

Les anneaux de polynômes représentent la première motivation historique pour les anneaux factoriels. Si les coefficients sont choisi dans un corps commutatif, l'anneau dispose d'une division euclidienne, dans le cas contraire une autre arithmétique apparaît. En 1801 Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) publie un traité[3] dans lequel il montre que l'anneau des polynômes à coefficients entiers possède un propriété qui se traduit, en terme moderne, par le fait que cet anneau est factoriel. Une présentation moins générale est proposée dans l'article lemme de Gauss.

Dans ce paragraphe A désigne un anneau factoriel et K son corps des fractions. Il est nécessaire pour étudier les polynômes à coefficients dans un anneau factoriel, d'expliciter quelques définitions :

  • Un polynôme de A[X] est dit primitif si et seulement si les coefficients du polynôme sont premiers entre eux dans leur ensemble.
  • Le contenu d'un polynôme P à coefficients dans K, s'il existe, est un élément a de K tel qu'il existe un polynôme primitif Q de A[X] tel que aQ soit égal à P. Dans cet article, on note cont (P) le contenu de P.[4]

Le contenu d'un polynôme vérifie les propriétés suivantes :

  • Le contenu d'un polynôme est défini à un facteur inversible de A près.
  • Le contenu d'un polynôme P non nul à coefficients dans K est toujours défini et il existe un polynôme primitif Q, à coefficients dans A tel que :
P = \text{cont}(P)\cdot Q\;
  • Soit P et Q deux polynômes non nuls à coefficients dans K, l'égalité suivante est vérifiée, à un facteur inversible près :
\text{cont}(P\cdot Q) = \text{cont}(P)\cdot \text{cont}(Q)\;[5]

Le résultat suivant est connu sous le nom de lemme de Gauss dans le cas où A est l'anneau Z des entiers relatifs :

  • Soit P un polynôme non constant à coefficients dans A. Le polynôme est irréductible dans A[X] si et seulement s'il est primitif et irréductible dans K[X].

Ce lemme permet de démontrer le théorème suivant :

  • L'anneau A[X] est factoriel.

On en déduit immédiatement le corollaire suivant :


Notes et références

Notes

  1. Cette définition est par exemple utilisée dans p 66 dans le site : Algèbre commutative par A. Chambert-Loir de l'Université de Rennes I
  2. La démonstration proposée s'inspire de celle donnée en page 66 du site Algèbre commutative par A. Chambert-Loir de l'Université de Rennes I
  3. Carl Friedrich Gauss Recherches arithmétiques traduction A.-C.-M. Poullet-Delisle Article 43, 1801 traduction 1807 reprit 1989 Editions Jacques Gabay
  4. On trouve ces deux définitions, par exemple sur le site Théorème de permanence de la factorialité(Gauss) par les mathématiques.net. Certains auteurs choisissent de définir uniquement le contenu d'un polynôme à coefficients dans A[X], par exemple p 73 Algèbre commutative par A. Chambert-Loir de l'Université de Rennes I
  5. La démonstration est inspirée de la page 74 du site Algèbre commutative par A. Chambert-Loir de l'Université de Rennes I
  6. Les deux dernières démonstrations s'inspirent de : Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808) [détail des éditions], V, §6 (éd. ang. p. 126-128)

Liens externes

Références

  • (fr) Nicolas Bourbaki Eléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitre 8: Dimension. Chapitre 9: Anneaux locaux noethériens complets Hermann 1983 (ISBN 2225787166)
  • (fr) Daniel Perrin, Géométrie algébrique. Une introduction [détail des éditions]
  • (fr) Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]
  • (fr) Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808) [détail des éditions]
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