Anneau Euclidien

Anneau euclidien

Euclide (Juste de Gand ,vers 1474)

En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif unitaire intègre.

Un anneau est dit euclidien s'il est possible d'y définir une division euclidienne.

Cette propriété est riche de conséquences : un anneau euclidien est toujours principal, il vérifie l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide, il est factoriel et satisfait les conditions du théorème fondamental de l'arithmétique. On retrouve ainsi tous les résultats de l'arithmétique élémentaire et plus spécifiquement de l'arithmétique modulaire, mais dans un cadre plus général.

L'anneau euclidien le plus classique est celui des entiers, mais on trouve aussi celui des entiers de Gauss ou encore un autre anneau, permettant de bâtir une arithmétique lié au nombre d'or et explicative de nombreuses propriétés de cet irrationnel. L'anneau des polynômes à coefficients dans les nombres réels ou complexes, et plus généralement dans n'importe quel corps commutatif est aussi euclidien, donnant ainsi naissance à une arithmétique des polynômes.

Sommaire

Histoire

Couverture de la première édition anglaise des Éléments par Henry Billingsley, 1570

Origine

La première référence ayant influencé le monde mathématique sur la question de la division euclidienne est le livre VII[1], des Éléments d'Euclide datant d'environ 300 ans avant J.-C.. On y trouve la première définition théorique de la division et l'étude de ses conséquences. Cette branche des mathématiques prend le nom d'Arithmétique. Elle traite essentiellement des questions portant sur les nombres entiers.

Certains mathématiciens comme Diophante d'Alexandrie[2] (env. 200/214 - env. 284/298) puis, bien plus tard, Pierre de Fermat[3] (1601 - 1665) comprennent la richesse de cette branche des mathématiques. Ils établissent quelques résultats comme le petit théorème de Fermat et formulent des conjectures comme le théorème des deux carrés de Fermat ou le grand théorème de Fermat. Un outil théorique important est l'analyse des propriétés du reste de la division euclidienne des membres d'une égalité d'entiers. Au XVIIIe siècle, certaines conjecture sont démontrées. On peut citer Leonhard Euler[4] (1707 - 1783) avec le théorème des deux carrés ou le cas n égal à trois du grand théorème de Fermat, presque traité en 1753. D'autres conjectures comme celle de la loi de réciprocité quadratique apparaissent. Ces résultats sont pour l'essentiel démontrés grâce à la virtuosité des mathématiciens, mais l'apport théorique est faible, en conséquence les résultats sont peu généralisables.

Émergence du concept

Carl Friedrich Gauss

En 1801, Carl Friedrich Gauss[5] (1777 - 1855) étudie le premier anneau d' entiers algébriques, celui des entiers qui portent maintenant son nom. Cet anneau possède l'équivalent d'une division euclidienne dans Z. En conséquence, l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide, et le théorème fondamental de l'arithmétique s'appliquent. De même, l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps commutatif, dispose aussi d'une division euclidienne. Gauss y construit une arithmétique analogue aux précédentes. Ainsi, la division euclidienne n'apparaît plus comme une spécificité des nombres relatifs mais un algorithme qui s'applique à diverses ensembles munis d'une multiplication et d'une addition.

Cette approche est utilisée pour d'autres entiers algébriques, par exemple par Ferdinand Eisenstein[6] (1823 - 1852) qui découvre l'ensemble des nombres appelés entiers d'Eisenstein et qui dispose d'une division euclidienne.

L'apport d'une division euclidienne à une structure est une démarche féconde. Gauss s'en sert pour une de ses démonstrations de la loi de réciprocité quadratique et des progrès tangibles sont réalisés vers la résolution du grand théorème de Fermat. Le cas n égal à trois devient parfaitement rigoureux. Les cas n égal à cinq, puis quatorze, puis sept, sont démontrés, avec l'apport massif d'autres idées. L'application de la décomposition en facteurs premiers aux polynômes cyclotomiques permet à Gauss de trouver un nouveau polygone régulier constructible à la règle et au compas, l'heptadécagone ou polygone régulier à dix-sept cotés.

L'idée est suffisamment novatrice et fructueuse pour que le lemme d'Euclide et le théorème fondamental de l'arithmétique soient parfois rebaptisés lemme de Gauss et théorème de Gauss. Le livre d'arithmétique de Gauss vaut rapidement à son auteur, le surnom de prince des mathématiciens.

Formalisation

Paradoxalement la formalisation moderne provient des limitations des arithmétiques précédentes. Par une démarche utilisant la notion d'anneau d'entiers, Gabriel Lamé (1795 - 1870) pense qu'il a démontré le grand théorème de Fermat[7]. Ernst Kummer (1810 - 1893) montre par un exemple[8] en 1844 qu'un anneau d'entiers ne dispose pas, en général, d'une décomposition unique en facteurs premiers. Ce résultat invalide la preuve de Lamé. Kummer découvre en 1846 un nouveau concept qu'il baptise nombre complexe idéal pour retrouver sous une nouvelle forme l'unicité nécessaire.

Ces travaux ouvrent la voie à la formalisation de la structure d'anneau. On peut citer Richard Dedekind[9] (1831 1916) et David Hilbert[10] (1862 1943) parmi les principaux contributeurs. Un anneau euclidien devient un cas particulier simple d'une vaste théorie, la théorie des anneaux. Dans ce contexte, l'anneau euclidien est un cas spécifique d'anneau commutatif unitaire et intègre. Il entre dans la sous-famille des anneaux factoriels et plus précisément des anneaux principaux, un cas particulier d'anneau factoriel. Les anneaux d'entiers étudiés par Kummer entrent dans une famille différente, celle des anneaux de Dedekind.

Exemples

Entiers relatifs

Article détaillé : arithmétique élémentaire.
Illustration de l'irrationalité de √2.

Les entiers relatifs forment le prototype de l'anneau euclidien. Cet ensemble vérifie la propriété suivante :

\forall (a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*, \exists q, r\in\mathbb{Z}\quad / \quad a=bq+r \quad {\rm et } \quad |r| < |b|

On reconnait là la forme de la division euclidienne dans l'ensemble des entiers naturels N pour laquelle |n| = n. On peut remarquer toutefois que, d'une part N n'est pas un anneau, d'autre part il n'est pas précisé ici l'unicité de q et r. Ceci s'explique par le fait que, pour pouvoir prolonger à Z (ensemble des entiers relatifs) la définition de la division dans N, il faut, ou bien fixer une condition supplémentaire sur b (b > 0) restreignant ainsi le champ de validité de la division euclidienne, ou bien accepter de prendre b négatif et prendre pour définition a = bq + r avec |r| < |b|. Mais alors on peut trouver deux décompositions possibles :

19 = (- 5) × (- 3) + 4 avec |4| < |-5| mais aussi 19 =(- 5) × (- 4) + (-1) avec |-1| < |-5|

Cette division permet de bâtir une arithmétique vérifiant les propriétés suivantes :

En conséquence, il est possible de définir : la famille des nombres premiers, le ppcm ainsi que le pgcd. L'anneau quotient Z/nZ est bien défini, il est la structure à la base de l'arithmétique modulaire.

La première application connue est probablement la démonstration de l'irrationalité de la racine carrée de deux. Le petit théorème de Fermat se démontre rapidement une fois établi le fait que si n est premier Z/nZ dispose d'une structure de corps. Fermat utilise largement cette arithmétique, par exemple pour démontrer l'absence de solution pour son grand théorème si n est égal à quatre. Euler donne une large quantité d'exemples d'utilisation de l'arithmétique dans Z, comme l'étude de l'équation de Pell-Fermat.

Ces résultats sont les propriétés qui ont motivé la création de la notion abstraite d'anneau euclidien. En effet, toutes ces propriétés ne sont les conséquences que d'une seule, la division euclidienne.

Polynômes à coefficients dans un corps commutatif

Article détaillé : Division d'un polynôme.
Évariste Galois initiateur de la théorie portant son nom
Construction d'un pentagone

Si un corps K est commutatif, alors l'anneau des polynômes K[X] est euclidien. La division prend la forme suivante :

\forall A(X), B(X)\in\mathbb{K}[X] \quad \exists ! Q(X), R(X)\in\mathbb{K}[X]
\text{tel que} \quad A(X)=B(X)Q(X)+R(X) \; et \quad \text{deg} R(X) < \text{deg} B(X)

Si la forme est globalement analogue à celle des entiers, on remarque néanmoins qu'une relation d'ordre sur l'ensemble K[X] n'est pas nécessaire. Il suffit d'une application, analogue à celle qui, à un polynôme associe son degré, et dont l'ensemble d'arrivée est ordonné, une telle application est appelée stathme euclidien.

L'arithmétique se fonde sur les mêmes conséquences, l'anneau est principal, l'identité de Bézout est vérifiée, le lemme d'Euclide et le théorème fondamental de l'arithmétique s'appliquent. Les équivalents des nombres premiers sont les polynômes irréductibles, c’est-à-dire ceux qui n'ont pour diviseurs qu'eux-mêmes ou l'unité à une constante multiplicative près. La décomposition en polynômes irréductibles est la factorisation la plus complète possible.

L'équivalent de l'arithmétique modulaire se focalise sur les anneaux quotientés par des idéaux premiers (c’est-à-dire des idéaux engendrés par des polynômes irréductibles). Comme précédemment ces idéaux possèdent une structure de corps. Les quotients sont appelés corps de rupture car se sont les plus petits corps contenant une racine du polynôme. Cette approche, permettant de définir une extension finie du corps K définit l'outil de base de la théorie de Galois.

Un exemple d'application est le suivant : les polynômes cyclotomiques correspondent à la décomposition en facteurs irréductibles du polynôme des racines de l'unité Xn - 1. L'analyse de ces polynômes permet de déterminer tous les polygones constructibles à la règle et au compas.

Entiers de Gauss

Article détaillé : Entier de Gauss.
Entier de Gauss division.jpg

Les entiers de Gauss noté Z[i] correspondent aux nombres de la forme u + i.v ou u et v sont choisis entiers. Ils forment un anneau euclidien, la définition est donnée par la proposition suivante, si N(x) désigne la norme algébrique c’est-à-dire le carré du module de x :

\forall (a,b)\in\mathbb{Z}(i)\times \mathbb{Z}(i)^*\; \exists q, r\in\mathbb{Z}(i)\quad / \quad a=b.q+r \quad avec \quad  N(r) < N(b)

L'application qui à un entier associe sa norme algébrique est bien une application des entiers de Gauss dans un ensemble ordonné, à savoir celui des entiers positifs. Cette norme correspond graphiquement au carré de la distance entre l'origine et l'entier de Gauss.

Dire que la division euclidienne existe signifie que qu'il existe un entier de Gauss à une distance inférieure à 1 du nombre complexe a/b. La figure ci-jointe illustre par un fond rouge le carré de sommet des entiers de Gauss et contenant a/b. La figure montre qu'il existe toujours au moins un entier à une distance inférieure à 1 de a/b. Dans le cas illustré, il en existe trois vérifiant cette propriété. L'unicité de la solution n'est pas une condition nécessaire à l'existence d'une division euclidienne.

Une fois encore, la division euclidienne apporte une arithmétique analogue aux deux cas précédents.

Les applications sont nombreuses. Dedekind a, par exemple, trouvé une preuve élégante du théorème des deux carrés de Fermat à partir de cet ensemble. Certaines équations diophantiennes quadratiques se résolvent bien dans cet ensemble. Gauss a utilisé cette arithmétique pour démontrer la loi de réciprocité quadratique.

En règle générale, un ensemble de cette nature, appelé anneau d'entiers quadratiques, n'a pas de division euclidienne. Ainsi, Z[i√3] n'est pas euclidien.

Autres anneaux euclidiens

  • Il existe d'autres anneaux entiers quadratiques euclidiens. Ceux qui ne sont pas inclus dans R sont tous connus. Les autres, comme par exemple celui des entiers de Q(√5), sont dit totalement réels. (Appliquées à des corps quadratiques, les notions de réel et de totalement réel sont équivalentes.) Il est conjecturé qu'il existe une infinité d'anneaux quadratiques totalement réels euclidiens.
  • Si K est un corps commutatif, K[[X]] l'anneau de ses séries formelles est aussi euclidien pour la valuation: v(P) = plus petit degré de X dans P.
  • Si A est un anneau euclidien et si S est une partie de A stable pour la multiplication. La localisation de A par rapport à S est aussi un anneau euclidien.

Définitions

Il existe certains points communs entre les exemples : l'anneau est toujours commutatif unitaire, intègre et, dans chaque cas, une fonction à valeurs dans N (valeur absolue, degré ou norme) est utilisée pour définir la division euclidienne. Ces fonctions sont des cas particuliers de stathme euclidien. De façon générale, si A désigne un anneau commutatif unitaire et intègre, on pose la définition suivante.

  • Un stathme euclidien sur A est une application v de A - {0} dans l'ensemble N des entiers positifs vérifiant les deux propriétés[11] :
(1)\quad \forall (a,b)\in \mathbb A \times \mathbb A - \{ 0 \} \; ,\; \exists q,r\in A \quad / \quad a = b.q + r \quad \text{avec} \quad r = 0 \;\, \text{ou}\; v(r) < v(b)
(2)\quad \forall a, b \in \mathbb A -\{0 \} \quad (\exists c \in \mathbb A \; \text{tel que } bc = a) \Rightarrow v(b) \leq v(a)

La condition (2) revient à dire que si A-{0} est muni de la relation de préordre «divise» et N de la relation d'ordre usuelle, l'application v est croissante.

  • Le terme de préstathme euclidien désigne une application de A - {0} dans N possédant la propriété (1).
  • Un anneau commutatif unitaire et intègre est dit euclidien si et seulement s'il existe un stathme euclidien sur cet anneau. On parle alors de division euclidienne dans cet anneau par rapport au stathme.

Remarques : 1 ° Certains auteurs utilisent le terme de stathme euclidien pour désigner ce qui est appelé ici un préstathme[12]. La différence n'est pas grande, car s'il existe un préstathme sur A, il existe aussi un stathme.

2 ° comme le montrent des exemples donnés dans les cas particuliers introductifs, les éléments q et r de la relation (1) ne sont pas forcément uniques.

Propriétés

Propriétés des anneaux euclidiens

Articles détaillés : Anneau principal et Anneau factoriel.

Dans la suite de l'article, A est un anneau commutatif unitaire et intègre.

Plus précisément, si v est un préstathme sur l'anneau euclidien A, si J est un idéal non nul de A, J admet pour générateur tout élément de J - {0} dont la valeur par le préstathme v est minimale.

En revanche, un anneau principal n'est pas toujours euclidien, l'article Anneau principal présente un contre-exemple.

Un anneau euclidien possède toutes les propriétés de divisibilité des anneaux principaux : il est factoriel, le lemme d'Euclide, le théorème fondamentale de l'arithmétique et l'identité de Bézout sont vérifiés et les opérations sur le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple s'appliquent.

Si on dispose d'un algorithme effectif de division euclidienne, comme par exemple pour Z ou pour les polynômes à coefficients dans un corps, on peut définir des algorithmes effectifs fournissant explicitement des objets dont l'existence reste théorique dans un cadre plus général. Ainsi l'algorithme d'Euclide se généralise et permet de trouver un générateur de la somme de deux idéaux (autrement dit, permet de trouver un plus grand commun diviseur de deux éléments). De même, le Théorème des facteurs invariants permet de trouver une base d'un A-module de type fini.

Remarque : Pour prouver qu'un anneau euclidien est principal, nous avons seulement utilisé l'existence d'un préstathme et non celle d'un stathme, ce qui explique que certains auteurs ne s'intéressent qu'aux préstathmes (qu'ils appellent stathmes)[13]. Toutefois, la preuve du fait qu'un anneau principal est factoriel repose (quant à l'existence de la décomposition en produits d'éléments irréductibles) sur l'axiome du choix. Dans le cas d'un anneau euclidien, l'existence d'un stathme (et non seulement d'un préstathme) permet de prouver sans recours à l'axiome du choix que l'anneau est factoriel.

Propriétés des stathmes

  • Soient a et b deux éléments non nuls de A et v un stathme; si v(a.b) = v(a), alors b est un élément du groupe des unités.

Il est toujours possible de normaliser un stathme v par translation, c'est-à-dire de choisir un stathme w tel que l'image par le stathme d'une unité soit égal à un. Plus précisément, il suffit de définir w par w(x) = v(x) - v(1) + 1 pour tout élément non nul x de A. Dans ce cas :

  • Un élément non nul u de A est élément du groupe des unités de A si, et seulement si, w(u) = 1. De plus, 1 est la valeur minimale que prend w dans A - {0}.

Si on étend le stathme normalisé w à l'anneau A tout entier en posant w(0) = 0, 0 est le seul élément x de A tel que w(x) = 0, ce qui permet de donner au principe de division euclidienne cette forme un peu plus élégante :

\forall (a,b)\in \mathbb A \times \mathbb A - \{ 0 \} \; ,\; \exists q,r\in A \quad / \quad a = b.q + r \quad avec \quad w(r) < w(b)

Cette convention n'est pas suivie dans tous les cas. Le stathme dispose de propriétés qui dépassent souvent celles de la division euclidienne. Dans le premier exemple sur Z, le stathme dispose de propriétés métriques, dans le deuxième exemple la fonction degré vérifie une propriété utile : le degré du produit de deux polynômes est égal à la somme des degrés des polynômes. Pour ne pas perdre cette propriété, les unités de l'anneau ont un stathme (degré) choisi égal à zéro et le polynôme nul a pour image (degré) moins l'infini.

Voir aussi

Notes

  1. Euclide Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide : plus le livre des donnez du mesme Euclide aussi traduict en françois par ledit Henrion, et imprimé de son vivant traduction de 1632, site Gallica
  2. Diophante d'Alexandrie Arithmetica éd. et tr. Roshdi Rashed. Paris : les Belles Lettres, 1984
  3. Pierre de Fermat Œuvres de Fermat, publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du Ministère de l'instruction publique. Ann Arbor, Michigan 2005
  4. Leonhard Euler Opera mathematica volume 3 1771
  5. Carl Friedrich Gauss Recherches arithmétiques traduction A.-C.-M. Poullet-Delisle 1801 traduction 1807 reprit 1989 Éditions Jacques Gabay
  6. Ferdinand Eisenstein Formes quadratiques et cubiques Journal de Crelle 1844
  7. Gabriel Lamé Démonstration générale du théorème de Fermat, sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation xn +yn =zn Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences. Paris 1847 24, 310-315 Lire sur Gallica
  8. H.M. Edwards, The background of Kummer's proof of Fermat's Last Theorem for regular primes, Arch. History Exact Sci. 14(1975)
  9. Richard Dedekind Lehrbuch des Algebra 1871
  10. David Hilbert Rapport sur les nombres1897
  11. Par exemple Bourbaki, Algèbre, ch. 7, § 1, exerc. 7, Paris, 1973, p. 125. Voir aussi F. Dress, « Stathmes euclidiens et séries formelles », Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, t. 12, 1970-1971, p. 1-7 (où la notion de stathme est plus générale : l'ensemble d'arrivée est un ordinal quelconque et non forcément N).
  12. On peut citer par exemple D. Perrin, Cours d'algèbre, éd. Ellipses, 2004, déf. 3.28, p. 50. Pour différentes définitions du stathme, voir encore F. Dress, « Stathmes euclidiens et séries formelles », Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, t. 12, 1970-1971, p. 1-7, en ligne; Bourbaki, Algèbre, ch. 7, § 1, exerc. 7, Paris, 1973, p. 125; R. Goblot, Algèbre commutative, Masson, 1997, p. 23
  13. D. Perrin, Cours d'algèbre, éd. Ellipses, 2004, déf. 3.28, p. 50. R. Goblot, Algèbre commutative, Masson, 1997, p. 23

Liens externes

Références

Theodore Motzkin « The Euclidean algorithm », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 55, n° 12, pp. 1142-1146, 1949. en ligne.
S. Lang Algebre Dunod 2004
D. Perrin Cours d'algèbre Ellipse 1996
S. Mac Lane & G. Birkhoff ; Algèbre [détail des éditions]
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