Loi des sinus

Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés.

On considère un triangle quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

• a = BC et α = angle formé par [AB] et [AC] ;
• b = AC et β = angle formé par [BA] et [BC] ;
• c = AB et γ = angle formé par [CA] et [CB].

La formule dite des sinus est alors:

$\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$,

On a même mieux:

$\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R$,

où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC et

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

est l'aire du triangle donnée à partir du demi-périmètre p par la formule de Héron.

La relation de proportionnalité est parfois résumée ainsi :

$\,a\,:\,b\,:\,c = \sin\alpha\,:\,\sin\beta\,:\,\sin\gamma$

Fig. 2 - Résolution d'un triangle par la loi des sinus

Le théorème peut être utilisé

• pour déterminer le rayon du cercle circonscrit
  $\,R = \frac{a}{2\sin\alpha}$
• pour résoudre un triangle dont on connaît un angle, un côté adjacent à l'angle et un côté opposé (cf. Fig. 2 ci-contre)
  $\alpha = \arcsin \frac{a\sin\beta}{b}$ et donc $\,\gamma = \pi - \alpha -\beta$ .

En exprimant une hauteur de deux manières

On considère un triangle de côtés a, b, et c, et α, β, γ ses angles aux sommets A, B, and C. On trace la hauteur issue de C elle divise le triangle ABC en deux triangles rectangles. Notons h cette hauteur, on peut appliquer la définition du sinus dans les deux petits triangles rectangles pour exprimer h:

$\sin \alpha = \frac{h}{b}\text{ et } \sin \beta = \frac{h}{a}.$

Dont on tire deux expressions pour h:

$h = b \sin \alpha = a\sin \beta \,$

et donc:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}.$

En faisant de même avec la hauteur issue de A on obtient:

$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.$

Par le calcul de l'aire du triangle

L'aire S du triangle peut se calculer en choisissant le côté AB=c comme base et h comme hauteur et on obtient alors:

$S = \frac{c\times h}{2}= \frac{c\times b\sin \alpha}{2}=\frac{1}{2}bc \sin \alpha \,.$

Ainsi l'aire S du triangle peut être exprimée de l'une de ces trois façons selon le côté que l'on choisit comme base:

$S = \frac{1}{2}bc \sin \alpha = \frac{1}{2}ac \sin \beta = \frac{1}{2}ab \sin \gamma\,.$

En multipliant par 2 / abc on obtient:

$\frac{2S}{abc} = \frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}\,.$

Finalement en prenant l'inverse on obtient bien la relation énoncée

$\,\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{abc}{2 S} \,.$

Fig. 3 - Triangle sphérique : dimensions réduites a, b et c ; angles α, β et γ.

Pour une surface non euclidienne de courbure K, on note ρ le rayon de courbure. Il vérifie

$\,\rho = 1/\sqrt{|K|}$.

On définit alors les dimensions réduites du triangle :

$\,a = BC/\rho$,

$\,b = AC/\rho$,

$\,c = AB/\rho$.

Dans le cas d'un triangle sphérique, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (voir Fig. 3).

Géométrie sphérique

Dans un triangle sphérique ABC dessiné sur la sphère de centre O et de rayon ρ (Fig. 3), la loi des sinus s'écrit

$\frac{\sin a}{\sin\alpha} = \frac{\sin b}{\sin\beta} = \frac{\sin c}{\sin\gamma} = \frac{6 V_{\mathrm{OABC}}}{\rho^3\sin a\,\sin b\,\sin c}$,

où V_OABC est le volume du tétraèdre OABC.

Géométrie hyperbolique

Dans un triangle hyperbolique, la loi des sinus s'écrit

$\frac{\sinh a}{\sin\alpha} = \frac{\sinh b}{\sin\beta} = \frac{\sinh c}{\sin\gamma}$.

Généralisation à l'espace euclidien

On considère un tétraèdre A₁A₂A₃A₄ de l'espace euclidien. La figure 3 ci-contre présente les notations concernant les sommets, faces et angles dans le tétraèdre :

Fig. 3 - Tétraèdre : faces et angles diédraux.

• $\,\mathrm S_k$ la face opposée opposée au sommet $\mathrm A_k\$;
• $\,s_k$ la surface de $\mathrm S_k\$;
• $\,\Delta_k$ le plan dans lequel $\mathrm S_k\$ est plongée ;
• $\,\theta_{ij}$ l'angle diédral $\widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}$.

On définit le sinus de l'angle triédral formé par les sommets A₁, etc. comme suit

• $\sin A_1 = \frac{\sqrt{1-\cos^2\theta_{23}-\cos^2\theta_{24}-\cos^2\theta_{34}-2\cos\theta_{23}\cos\theta_{24}\cos\theta_{34} }}{\sin\theta_{23}\sin\theta_{24}\sin\theta_{34}}$ ;
• etc.

Alors

$\frac{S_1}{\sin A_1} = \frac{S_2}{\sin A_2} = \frac{S_3}{\sin A_3} = \frac{S_4}{\sin A_4} = \frac{2S_1S_2S_3S_4}{9V}$,

où V est le volume du tétraèdre.

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Bibliographie

• (en) Law of Sines sur le site de MathWorld
• (en) Generalized law of sines sur le site de MathWorld

Articles connexes

• Trigonométrie :
  • sinus ;
  • fonction trigonométrique ;
  • trigonométrie sphérique ;
  • triangulation.
• Géométrie du triangle :
  • théorème d'Al-Kashi ;
  • loi des tangentes ;
  • résolution d'un triangle.