Limacon de Pascal

Limaçon de Pascal

Le limaçon est une épitrochoïde, c'est-à-dire une trochoïde avec un cercle pour base du mouvement.

Le limaçon de Pascal est une courbe plane fermée présentant éventuellement un point double, obtenue en traçant le mouvement décrit par un point d'un disque roulant (sans glisser) sur un cercle. La cardioïde en est un cas particulier : le point double dégénère alors en rebroussement (de première espèce). Le limaçon trisecteur est un second cas particulier (à ne pas conforndre avec la trisectrice de Colin Maclaurin)

Étude sommaire

Le limaçon a pour équation en coordonnées polaires : $r = a + b \sin \theta \$

ce qui donne, en coordonnées cartésiennes :

(x² + y²)² − (a² + 2by)(x² + y²) + b²y² = 0

C'est donc une courbe algébrique.

Histoire

L'intérêt des Pascal pour les roulettes est bien documenté. Le limaçon, qui en est une généralisation, a été proposé comme sujet d'étude par Étienne Pascal, père de Blaise Pascal, au père Mersenne, d'où son nom. On retrouve toutefois déjà cette courbe dans l'Underweysung der Messung d'Albrecht Dürer, qui en indique le tracé avec des outils de dessin.

De gauche à droite : un limaçon, une cardioïde, et la trisectrice.

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