Lexique de la géométrie riemannienne

La géométrie riemannienne est un domaine des mathématiques étudiant les propriétés des variétés riemanniennes. Cette page rappelle brièvement les définitions des termes récurrents rencontrés.

A

• Application conforme : Entre deux variétés riemanniennes, application qui préserve les angles ; de manière équivalente application qui transporte une métrique en une métrique conforme ;
• Application exponentielle : Application différentiable $TM\rightarrow M$ définie naturellement pour toute variété riemannienne complète, caractérisée par ce que exp(tv) soit la géodésique dont la vitesse au temps 0 est v ;

B

C

• Centre de masse
• Cercle osculateur
• Champ de Jacobi
• Champ de Killing
• Classe de Chern
• Convexité
• Courbure bisectionnelle
• Courbure de Gauss
• Courbure négative
• Courbure de Ricci
• Courbure sectionnelle
• Croissance d'un groupe
• Cut-locus d'un point m d'une variété riemannienne : Ensemble (négligeable) de points n pour lesquels il n'y a pas unicité de la géodésique minimisante ;

E

• Espace de Hadamard : Variété riemmannienne ou espace métrique simplement connexe de courbure strictement négative.
• Espace homogène : Variété sur laquelle agit transitivement un groupe de Lie.
• Espace symétrique : Variété riemannienne admettant en tout point au moins une involution.

F

• Feuilletage riemannien : Feuilletage d'une variété en variétés riemanniennes ;
• Fibré normal : pour une sous-variété N d'une variété riemannienne M, fibré vectoriel sur N sont la fibre en x est l'orthogonal à T_xN ;
• Fibré riemannien : Fibé vectoriel muni d'une métrique riemannienne ;
• Flot géodésique : Flot différentiable sur l'espace tangent ou cotangent d'une variété riemannienne, ou sur le fibré en sphères correspondant, défini par la dynamique des géodésiques ;
• Fonction de Busemann : Fonction continue définie sur un espace (variété riemannienne ou espace métrique) à courbure négative bornée intervenant dans la compactification ; les fonctions de Buseman forment la sphère à l'infini ;
• Forme harmonique : Forme différentielle dont le laplacien est nul ;
• Forme de Kähler :
• Formule des traces de Selberg :

G

• Géodésique : Courbe minimisant localement la distance sur une variété riemannienne ;
• Géodésique fermée : Géodésique périodique ;
• Géométrie euclidienne : géométrie d'un espace euclidien ;
• Géométrie riemannienne : Géométrie d'une variété riemannienne ;
• Groupe hyperbolique

H

• Holonomie
• Horosphère

I

• Identités de Bianchi : Identité remarquable portant sur la coubure de la connxion de Levi-Civita ;
• Inégalité de Bishop-Gromov : Estimation sur le volume des boules d'une variété riemannienne suivant des estimations sur la courbure de Ricci ;
• Inégalité isopérimétrique : Toute inégalité donnant une majoration du volume riemannien enfermé par une hypsersurface en fonction du volume de cette dernière ;
• Involution : Isométrie sur une variété riemannienne fixant un point et dont la différentielle en ce point est -Id ;
• Isométrie : Entre deux variétés riemanniennes, application différentiable envoyant métrique riemannienne sur métrique riemannienne ; ou de manière équivalent, application continue préservant les distances associée ;

L

• Laplacien : Opérateur différentiel défini sur toute variété riemannienne ;

M

• Métrique de Carnot-Carathéodory
• métrique riemannienne : Collection de formes bilinéaires symétriques définies positives définies sur les espaces tangents d'une variété, avec une certaine régularité dépendant du contexte ;
• Mouvement brownien ou processus de Wiener, est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule ;
• Métrique d'Einstein :

N

• Nombre de Betti : Dimensions des espaces de cohomologie de De Rham ;

P

• Plongement riemannien : Plongement préservant la métrique riemannienne.
• Problème de Dirichlet

Q

• Quasi-isométrie : Applications (pas nécessairement continue) entre variétés riemanniennes ou entre espaces métriques qui ne dilatent pas excessivement les distances.

R

• Rayon de convexité
• Rayon d'injectivité : plus grand rayon tel que l'application exponentielle soit injective sur les boules tangentes correspondantes ;
• Revêtement riemannien : Revêtement universel d'une variété riemannienne muni de la métrique tirée en arrière ;
• Rigidité de Mostow

S

• Spectre du laplacien
• Spineur
• Symbole de Christoffel : Symboles permettant d'exprimer dans des cartes locales la connexion de Levi-Civita ;
• Systole (mathématiques)

T

• Théorème d'Abresch-Meyer
• Théorème de Bishop
• Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers
• Théorème de Brunn-Minkowski
• Théorème de comparaison
• Théorème de Gauss-Bonnet
• Théorème de Hadamard-Cartan : théorème affirmant que le revêtement universel d'une variété riemannienne complète de courbure négative est difféomorphe à une boule ;
• Théorème de Hopf-Rinow
• Théorème KAM
• Théorème de Myer : estimation sur le diamètre d'une variété riemannienne complète en courbure positive ;
• Transport parallèle

V

• Variété hyperbolique
• Variété kählérienne
• Variété lorentzienne
• Variété riemannienne
• Volume riemannien : forme volume définie sur toute variété riemannannienne orientée valant 1 sur toute base tangente orthonormée orientée ; ou mesure positive associée ;