Mediane (centre)

Mediane (centre)

Médiane (centre)

En théorie des probabilités et en statistiques, la médiane est un nombre qui divise en deux parties l'échantillon, la population ou la distribution de probabilités tel que chaque partie contient le même nombre de valeurs.

Dans une liste finie de valeurs, il suffit d'ordonner les valeurs dans un ordre croissant et de choisir la valeur centrale comme médiane. S'il y a un nombre pair de valeurs, toute valeur située entre les deux valeurs centrales est acceptable, mais c'est le plus souvent la moyenne arithmétique des deux valeurs centrales qui est utilisée.

Contrairement à la moyenne arithmétique, la valeur médiane permet d'atténuer l'influence perturbatrice des valeurs extrêmes enregistrées lors de circonstances exceptionnelles.

Sommaire

Vulgarisation

Supposons 19 pauvres et un milliardaire dans une pièce. Tous prennent l'argent de leur poche et le déposent sur une table. Chaque pauvre dépose 5 dollars, alors que le milliardaire met 1 milliard de dollars. Le montant total est 1 000 000 095 dollars. Si cet argent est également distribué parmi les vingt personnes, chacune obtient 50 000 004,75 dollars. Ce montant est la valeur moyenne de ce qu'elles ont amené. Cependant, la valeur médiane est de 5 dollars, puisque le groupe peut être divisé en deux parties égales de 10 personnes. On peut donc affirmer que tous les membres du premier groupe ont amené au plus 5 dollars, alors que les membres du deuxième groupe ont amené au moins 5 dollars.

Valeur non-unique

Théoriquement, il peut y avoir plus qu'une valeur médiane: s'il y a un nombre pair de valeurs, il existe différentes valeurs qui divisent l'ensemble en deux parties. Dans ce cas, la moyenne de ces deux valeurs centrales est généralement choisie comme médiane.

Mesure de la dispersion statistique

Lorsque la médiane est utilisée pour situer des valeurs en statistiques descriptives, il existe différentes possibilités pour exprimer la variabilité : L'étendue, l'écart interquartile et l'écart absolu. Puisque la médiane est la même valeur que le deuxième quartile, son calcul est détaillé dans l'article sur les quartiles.

Médianes dans les distributions de probabilités

Pour chacune des distributions de probabilités sur la ligne des nombres réels avec une fonction de distribution cumulative, F, peu importe s'il s'agit d'une distribution continue de probabilités ou d'une distribution discrète de probabilités, une médiane m satisfait l'égalité :

P(X\leq m)=P(X\geq m)=\int_{-\infty}^m dF(x)

dans laquelle une intégrale de Riemann-Stieltjes apparaît. Pour une distribution de probabilités absolument continue avec une densité de probabilité f, il y a :

P(X\leq m)=P(X\geq m)=\int_{-\infty}^m f(x)\, dx=0,5.

Médianes de certaines distributions

Pour toutes les distributions symétriques, la médiane est égale à l'espérance.

Médianes en statistiques descriptives

La médiane est principalement utilisée pour les distributions asymétriques, car elle les représente mieux que la moyenne arithmétique. Considérons l'ensemble { 1, 2, 2, 2, 3, 9 }. La médiane est 2, tout comme le mode, ce qui est une meilleure mesure de tendance centrale que la moyenne arithmétique égale à 3,166….

Le calcul de la médiane est couramment effectué pour représenter différentes distributions et elle est facile à comprendre, tout comme à calculer. Elle est aussi plus robuste que la moyenne en présence de valeurs extrêmes.

Propriétés théoriques

Propriété optimale

La médiane est aussi la valeur centrale qui minimise la valeur moyenne des écarts absolus. Dans la série donnée auparavant, ce serait (1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 7) / 6 = 1,5, plutôt que 1,944 à partir de la moyenne. En théorie des probabilités, la valeur c qui minimise

E(\left|X-c\right|)\,

est la médiane de la distribution de probabilités de la variable aléatoire X.

Inégalité impliquant les moyennes et les médianes

Pour les distributions continues de probabilités, la différence entre la médiane et la moyenne est d'au plus d'un écart type.

Calcul efficace

Bien que le tri de n items prend en général O(n log n) opérations, il est possible de calculer la médiane de n items à l'aide de l'algorithme diviser pour régner en seulement O(n) opérations.

Voir aussi

Liens externes

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
Ce document provient de « M%C3%A9diane (centre) ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Mediane (centre) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Médiane (centre) — En théorie des probabilités et en statistiques, la médiane est un nombre qui divise en deux parties l échantillon, la population ou la distribution de probabilités tel que chaque partie contient le même nombre de valeurs. Dans une liste finie de… …   Wikipédia en Français

  • Mediane — Médiane Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom …   Wikipédia en Français

  • médiane — ● médiane nom féminin Dans un triangle, droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé. Dans un tétraèdre, droite passant par un sommet et le centre de gravité de la face opposée. (Les médianes d un triangle aussi bien que celles d un… …   Encyclopédie Universelle

  • Centre de gravité d'une plaque homogène — En mécanique, le centre de gravité d une plaque homogène est le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie. Pratiquement, c est le centre d équilibre de la plaque. On dit qu une plaque est homogène lorsque elle a la même poids… …   Wikipédia en Français

  • Médiane — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « médiane », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) L adjectif médian(e) issu du latin medianus ou …   Wikipédia en Français

  • Médiane (géométrie) — Pour les articles homonymes, voir Médiane. Dans son sens le plus courant, une médiane désigne, dans un triangle, une droite joignant un des sommets du triangle au milieu du côté opposé. Par extension, en géométrie plane, les médianes d un… …   Wikipédia en Français

  • Médiane (statistiques) — Pour les articles homonymes, voir Médiane. En théorie des probabilités et en statistiques, la médiane d un ensemble de valeurs (échantillon, population, distribution de probabilités) est la valeur m telle que le nombre de valeurs de l ensemble… …   Wikipédia en Français

  • Centre de masse d'une plaque homogène — En mécanique, le centre de masse d une plaque homogène est le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie. Pratiquement, dans le cas d un champ de pesanteur uniforme le centre de masse est confondu avec le centre de gravité de la… …   Wikipédia en Français

  • Calcul Du Centre De Gravité D'un Polygone — Centre de gravité d une plaque homogène En mécanique, le centre de gravité d une plaque homogène est le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie. Pratiquement, c est le centre d équilibre de la plaque. On dit qu une plaque est… …   Wikipédia en Français

  • Calcul du centre de gravite d'un polygone — Centre de gravité d une plaque homogène En mécanique, le centre de gravité d une plaque homogène est le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie. Pratiquement, c est le centre d équilibre de la plaque. On dit qu une plaque est… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”